Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(x)=\left(x^{3}-7\right) .\left(2 x^{2}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}-7\right)\cdot\left(2x^{2}+3\right).
Informações fornecidas:
  • A função está escrita como produto de duas funções: \left(x^{3}-7\right) e \left(2x^{2}+3\right).
  • É necessário usar regras de derivação (produto, cadeia, quociente quando for o caso). Aqui há um produto explícito, então aplicaremos a regra do produto.
  • Não há outras restrições ou condições.

Passo 2

Regra do produto (fórmula e explicação didática).
Sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis. A derivada do produto u(x)\,v(x) é
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
O raciocínio é: a variação do produto tem contribuição da variação de u mantendo v fixo mais a variação de v mantendo u fixo. Aqui vamos identificar u e v e calcular u' e v'.
Também vamos usar a regra de potência (para derivar potências de x):
Se g(x)=x^{n} então
g'(x)=n\,x^{n-1}.
E a derivada de uma constante é 0.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) e calcular suas derivadas:
Escolhemos
u(x)=x^{3}-7,\qquad v(x)=2x^{2}+3.
Derivando termo a termo usando a regra de potência e a derivada de constante:
u'(x) = \bigl(x^{3}\bigr)' - (7)' = 3x^{2} - 0 = 3x^{2},
v'(x) = \bigl(2x^{2}\bigr)' + (3)' = 2\cdot 2x = 4x.
(Explicando: para \bigl(2x^{2}\bigr)' multiplicou-se o expoente 2 pelo coeficiente 2 e diminuiu-se o expoente em 1, dando 4x.)

Passo 4

Aplicar a regra do produto e simplificar passo a passo.
Usando \bigl(u v\bigr)' = u'v + u v':
f'(x) = 3x^{2}\cdot\left(2x^{2}+3\right) + \left(x^{3}-7\right)\cdot(4x).
Agora expandir cada produto:
3x^{2}\cdot\left(2x^{2}+3\right) = 3x^{2}\cdot 2x^{2} + 3x^{2}\cdot 3 = 6x^{4} + 9x^{2},
\left(x^{3}-7\right)\cdot(4x) = x^{3}\cdot 4x - 7\cdot 4x = 4x^{4} - 28x.
Somando as partes:
f'(x) = \bigl(6x^{4} + 9x^{2}\bigr) + \bigl(4x^{4} - 28x\bigr) = (6x^{4}+4x^{4}) + 9x^{2} - 28x.
Combinar termos semelhantes:
f'(x) = 10x^{4} + 9x^{2} - 28x.
Opcionalmente pode-se fatorar x em evidência:
f'(x)=x\bigl(10x^{3}+9x-28\bigr).

Resposta

f'(x)=10x^{4}+9x^{2}-28x

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