Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações fornecidas:
- A função está escrita como produto de duas funções:
e . - É necessário usar regras de derivação (produto, cadeia, quociente quando for o caso). Aqui há um produto explícito, então aplicaremos a regra do produto.
- Não há outras restrições ou condições.
Passo 2
Regra do produto (fórmula e explicação didática).
Sejam e
funções diferenciáveis. A derivada do produto
é
Sejam
O raciocínio é: a variação do produto tem contribuição da variação de
mantendo
fixo mais a variação de
mantendo
fixo. Aqui vamos identificar
e
e calcular
e
.
Também vamos usar a regra de potência (para derivar potências de
):
Se então
Se
E a derivada de uma constante é
.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
Escolhemos
Escolhemos
Derivando termo a termo usando a regra de potência e a derivada de constante:
(Explicando: para
multiplicou-se o expoente
pelo coeficiente
e diminuiu-se o expoente em 1, dando
.)
Passo 4
Aplicar a regra do produto e simplificar passo a passo.
Usando :
Usando
Agora expandir cada produto:
Somando as partes:
Combinar termos semelhantes:
Opcionalmente pode-se fatorar
em evidência: