Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
g(t)=\cos (t) \cdot 3 t^{2}+2 t

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada:
  • Função dada: g(t)=\cos(t)\cdot 3 t^{2}+2 t.
  • Pedido: calcular g'(t) usando regras de derivação (regra do produto, etc.).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções differentiáveis, então
( u(t)\,v(t) )' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
Aqui u'(t) é a derivada de u em relação a t e v'(t) é a derivada de v em relação a t.
  • Derivada de uma soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
(f(t)+h(t))' = f'(t)+h'(t).
  • Derivada de uma constante vezes potência: se a é constante e n é inteiro,
( a\,t^{n} )' = a \cdot n\,t^{n-1}.
  • Derivada de funções trigonométricas (caso importante aqui):
(\cos x)' = -\sin x,\qquad (\sin x)' = \cos x.
Se a função trigonométrica tem uma função composta no argumento, aplica-se a regra da cadeia (derivada de fora vezes derivada de dentro). No nosso caso o argumento é t, então a regra da cadeia só confirma que (\cos(t))'=-\sin(t) porque a derivada de t é 1.

Passo 3

Identificar claramente os termos onde aplicaremos a regra do produto:
  • Primeiro termo (produto): u(t)=\cos(t) e v(t)=3 t^{2}. Esse é um produto e usaremos a regra do produto nele.
  • Segundo termo (simples): 2t é uma função polinomial simples; sua derivada é obtida pela regra da potência com constante.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de u(t)=\cos(t):
u'(t) = (\cos(t))' = -\sin(t).
Explanação curta: a derivada de \cos é -\sin; como o argumento é t, não há fator extra da cadeia além de 1.
  • Derivada de v(t)=3 t^{2}:
v'(t) = (3 t^{2})' = 3 \cdot 2\,t^{1} = 6 t.
Explicando: aplicou-se (a t^{n})' = a n t^{n-1} com a=3 e n=2.

Passo 5

Aplicar a regra do produto ao termo \cos(t)\cdot 3 t^{2}:
\big(\cos(t)\cdot 3 t^{2}\big)' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
Substituindo u, u', v, v':
\big(\cos(t)\cdot 3 t^{2}\big)' = \big(-\sin(t)\big)\cdot 3 t^{2} + \cos(t)\cdot 6 t.
Simplificando os coeficientes:
\big(\cos(t)\cdot 3 t^{2}\big)' = -3 t^{2}\sin(t) + 6 t \cos(t).

Passo 6

Derivar o termo restante 2t:
(2t)' = 2,
porque a derivada de t é 1 e o fator 2 permanece.

Passo 7

Somar as derivadas (derivada da soma é soma das derivadas):
g'(t) = \big(\cos(t)\cdot 3 t^{2}\big)' + (2t)' = -3 t^{2}\sin(t) + 6 t \cos(t) + 2.

Resposta

g'(t)=-3 t^{2}\sin(t)+6 t\cos(t)+2

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