Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
usando regras de derivação (regra do produto, etc.).
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
e são funções differentiáveis, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
- Derivada de uma soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
- Derivada de uma constante vezes potência: se
é constante e é inteiro,
- Derivada de funções trigonométricas (caso importante aqui):
Se a função trigonométrica tem uma função composta no argumento, aplica-se a regra da cadeia (derivada de fora vezes derivada de dentro). No nosso caso o argumento é
, então a regra da cadeia só confirma que
porque a derivada de
é
.
Passo 3
Identificar claramente os termos onde aplicaremos a regra do produto:
- Primeiro termo (produto):
e . Esse é um produto e usaremos a regra do produto nele. - Segundo termo (simples):
é uma função polinomial simples; sua derivada é obtida pela regra da potência com constante.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de
:
Explanação curta: a derivada de
é
; como o argumento é
, não há fator extra da cadeia além de
.
- Derivada de
:
Explicando: aplicou-se
com
e
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto ao termo
:
Substituindo
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Derivar o termo restante
:
porque a derivada de
é
e o fator
permanece.
Passo 7
Somar as derivadas (derivada da soma é soma das derivadas):