Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(x)=x \cdot e^{x} \cdot \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
  • Função dada: f(x)=x\cdot e^{x}\cdot \operatorname{sen}(x).
  • Objetivo: calcular f'(x) usando as regras de derivação (produto, quociente e cadeia).
    Observação: a função é um produto de três fatores; portanto a regra do produto será a principal ferramenta aqui.

Passo 2

Revisão das regras necessárias (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto para duas funções: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Isto significa: para derivar um produto, deriva-se cada fator mantendo os outros como estão e soma-se os termos.
  • Regra do produto para três fatores: se u(x), v(x), w(x) são diferenciáveis, então
(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.
Isto vem de aplicar a regra do produto duas vezes (é a forma prática de lembrar).
  • Derivadas básicas que usaremos:
    • A derivada de x é 1: \dfrac{d}{dx}x = 1.
    • A derivada de e^{x} é e^{x}: \dfrac{d}{dx}e^{x} = e^{x}.
    • A derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x): \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x) = \cos(x).
  • Regra do quociente e regra da cadeia foram lembradas, mas neste problema não são necessárias porque não há quociente nem composição exótica além das funções já citadas.

Passo 3

Identificar os fatores e suas derivadas:
  • Tome u(x)=x. Então u'(x)=1.
  • Tome v(x)=e^{x}. Então v'(x)=e^{x}.
  • Tome w(x)=\operatorname{sen}(x). Então w'(x)=\cos(x).

Passo 4

Aplicar a regra do produto para três fatores:
f'(x) = u'vw + uv'w + uvw'.
Agora vamos substituir u,u',v,v',w,w' nas expressões.

Passo 5

Calcular cada termo separadamente e mostrar passo a passo:
  • Primeiro termo: u'vw = 1\cdot e^{x}\cdot \operatorname{sen}(x) = e^{x}\operatorname{sen}(x).
  • Segundo termo: uv'w = x\cdot e^{x}\cdot \operatorname{sen}(x) = x e^{x}\operatorname{sen}(x).
  • Terceiro termo: uvw' = x\cdot e^{x}\cdot \cos(x) = x e^{x}\cos(x).
Somando os três termos:
f'(x) = e^{x}\operatorname{sen}(x) + x e^{x}\operatorname{sen}(x) + x e^{x}\cos(x).

Passo 6

Fatorar para simplificar (passo útil na prova para deixar a resposta mais elegante):
  • Fator comum e^{x} em todos os termos:
f'(x) = e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(x) + x\operatorname{sen}(x) + x\cos(x)\bigr).
  • Agrupando \operatorname{sen}(x):
f'(x) = e^{x}\bigl((1+x)\operatorname{sen}(x) + x\cos(x)\bigr).
Essa é uma forma compacta e clara da derivada.

Resposta

f'(x)=e^{x}\operatorname{sen}(x)+x e^{x}\operatorname{sen}(x)+x e^{x}\cos(x)
\text{(ou)}\qquad f'(x)=e^{x}\bigl((1+x)\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)\bigr)

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