Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
- Função dada:
. - Objetivo: calcular
usando as regras de derivação (produto, quociente e cadeia).
Observação: a função é um produto de três fatores; portanto a regra do produto será a principal ferramenta aqui.
Passo 2
Revisão das regras necessárias (explicadas de forma simples):
- Regra do produto para duas funções: se
e são diferenciáveis, então
Isto significa: para derivar um produto, deriva-se cada fator mantendo os outros como estão e soma-se os termos.
- Regra do produto para três fatores: se
, , são diferenciáveis, então
Isto vem de aplicar a regra do produto duas vezes (é a forma prática de lembrar).
- Derivadas básicas que usaremos:
- A derivada de
é : . - A derivada de
é : . - A derivada de
é : .
- A derivada de
- Regra do quociente e regra da cadeia foram lembradas, mas neste problema não são necessárias porque não há quociente nem composição exótica além das funções já citadas.
Passo 3
Identificar os fatores e suas derivadas:
- Tome
. Então . - Tome
. Então . - Tome
. Então .
Passo 4
Aplicar a regra do produto para três fatores:
Agora vamos substituir
nas expressões.
Passo 5
Calcular cada termo separadamente e mostrar passo a passo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando os três termos:
Passo 6
Fatorar para simplificar (passo útil na prova para deixar a resposta mais elegante):
- Fator comum
em todos os termos:
- Agrupando
:
Essa é uma forma compacta e clara da derivada.