Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente: calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
. - O numerador é
. - O denominador é
(ou seja, ). - Deve-se usar as regras de derivação (produto, quociente e cadeia) se necessário.
Observação prática: a função só está definida quando— isso afeta o domínio da derivada, que será indicado mais adiante.
Passo 2
Escolha do método e revisão das regras usadas (mini-aula rápida, sem pular etapas).
Vou usar a regra do quociente porque a função está claramente escrita como um quociente
com
e
; aplicar a regra do quociente será direto e rápido. Alternativamente daria para reescrever como produto
e usar produto + cadeia — ambos levam ao mesmo resultado. Vou mostrar a via do quociente como principal e, rápido, confirmar com produto+cadeia.
Regra do quociente (fórmula e explicação):
Se com
e
diferenciáveis e
, então
Se
Aqui
é a derivada do numerador,
a derivada do denominador, e o denominador da regra é o quadrado de
.
Regra do produto (para conferência):
Se então
Se
Regra da cadeia (usada quando aparece algo como
):
Se então
Se
Por exemplo, para
e
, tem-se
e
Passo 3
Aplicar a regra do quociente à função dada.
Definimos
Calculamos as derivadas individuais:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida e fatorar quando conveniente.
Fatorando
no numerador:
Essa é uma forma bem simples e usual para apresentar a derivada. Pode também ser escrita como
mas a forma fatorada
é mais compacta.
Passo 5
Verificação rápida usando produto + cadeia (confirmação, passo a passo resumido).
Reescrevendo
. Pela regra do produto,
Pela cadeia, como visto antes,
Substituindo,
que é exatamente o mesmo resultado que obtivemos pela regra do quociente — portanto consistente.
Passo 6
Comentário final sobre domínio e atenção para a prova.
A derivada existe apenas onde a função original está definida e as expressões usadas fazem sentido; portanto a resposta é válida para todos
tais que
Na prova: aplique a regra do quociente diretamente quando tiver uma razão simples
; se preferir, transforme em produto com potência e use produto+cadeia — ambas são ferramentas úteis. Respire fundo, faça linha a linha como aqui e dá certo!