Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(v)=\frac{3 v}{\operatorname{sen}(v)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(v)=\frac{3v}{\operatorname{sen}(v)}
e pede explicitamente: calcular a derivada f'(v).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é v.
  • O numerador é 3v.
  • O denominador é \operatorname{sen}(v) (ou seja, \sin v).
  • Deve-se usar as regras de derivação (produto, quociente e cadeia) se necessário.
    Observação prática: a função só está definida quando \sin v\neq0 — isso afeta o domínio da derivada, que será indicado mais adiante.

Passo 2

Escolha do método e revisão das regras usadas (mini-aula rápida, sem pular etapas).
Vou usar a regra do quociente porque a função está claramente escrita como um quociente u(v)/w(v) com u(v)=3v e w(v)=\sin v; aplicar a regra do quociente será direto e rápido. Alternativamente daria para reescrever como produto 3v\cdot(\sin v)^{-1} e usar produto + cadeia — ambos levam ao mesmo resultado. Vou mostrar a via do quociente como principal e, rápido, confirmar com produto+cadeia.
Regra do quociente (fórmula e explicação):
Se \displaystyle f(v)=\frac{u(v)}{w(v)} com u e w diferenciáveis e w(v)\neq0, então
f'(v)=\frac{u'(v)\,w(v)-u(v)\,w'(v)}{[w(v)]^{2}}.
Aqui u'(v) é a derivada do numerador, w'(v) a derivada do denominador, e o denominador da regra é o quadrado de w(v).
Regra do produto (para conferência):
Se g(v)=p(v)\,q(v) então
g'(v)=p'(v)\,q(v)+p(v)\,q'(v).
Regra da cadeia (usada quando aparece algo como (\sin v)^{-1}):
Se h(v)=H(\varphi(v)) então
h'(v)=H'(\varphi(v))\cdot\varphi'(v).
Por exemplo, para H(x)=x^{-1} e \varphi(v)=\sin v, tem-se h(v)=(\sin v)^{-1} e
h'(v)=-1\cdot(\sin v)^{-2}\cdot\cos v=-\frac{\cos v}{\sin^{2}v}.

Passo 3

Aplicar a regra do quociente à função dada.
Definimos
u(v)=3v,\qquad w(v)=\sin v.
Calculamos as derivadas individuais:
u'(v)=3, \qquad w'(v)=\cos v.
Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(v)=\frac{u'(v)\,w(v)-u(v)\,w'(v)}{[w(v)]^{2}} =\frac{3\sin v-(3v)\cos v}{\sin^{2}v}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida e fatorar quando conveniente.
Fatorando 3 no numerador:
f'(v)=\frac{3\big(\sin v-v\cos v\big)}{\sin^{2}v}.
Essa é uma forma bem simples e usual para apresentar a derivada. Pode também ser escrita como
f'(v)=3\left(\frac{1}{\sin v}-\frac{v\cos v}{\sin^{2}v}\right),
mas a forma fatorada \dfrac{3(\sin v-v\cos v)}{\sin^{2}v} é mais compacta.

Passo 5

Verificação rápida usando produto + cadeia (confirmação, passo a passo resumido).
Reescrevendo f(v)=3v\cdot(\sin v)^{-1}. Pela regra do produto,
f'(v)=3\cdot(\sin v)^{-1}+3v\cdot\big((\sin v)^{-1}\big)'.
Pela cadeia, como visto antes,
\big((\sin v)^{-1}\big)'=-\frac{\cos v}{\sin^{2}v}.
Substituindo,
f'(v)=\frac{3}{\sin v}+3v\left(-\frac{\cos v}{\sin^{2}v}\right) =\frac{3\sin v-3v\cos v}{\sin^{2}v},
que é exatamente o mesmo resultado que obtivemos pela regra do quociente — portanto consistente.

Passo 6

Comentário final sobre domínio e atenção para a prova.
A derivada existe apenas onde a função original está definida e as expressões usadas fazem sentido; portanto a resposta é válida para todos v tais que
\sin v\neq0.
Na prova: aplique a regra do quociente diretamente quando tiver uma razão simples u/v; se preferir, transforme em produto com potência e use produto+cadeia — ambas são ferramentas úteis. Respire fundo, faça linha a linha como aqui e dá certo!

Resposta

f'(v)=\frac{3\big(\sin v-v\cos v\big)}{\sin^{2}v}

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