Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
h(x)=\frac{5 x^{2}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\frac{5x^{2}}{e^{x}}
e pede que se calcule a derivada h'(x). Não há outros dados. O objetivo é aplicar regras de derivação (produto, cadeia ou quociente) para obter h'(x).

Passo 2

Vou escolher um método prático: reescrever a função como um produto e usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia. Motivo: dividir por e^{x} é equivalente a multiplicar por e^{-x}, e a derivação de e^{-x} é direta pela regra da cadeia; isso torna o cálculo mais simples e menos propenso a erros do que aplicar direto a regra do quociente. (Se preferir, mais tarde dá para confirmar que o resultado coincide com o da regra do quociente.)

Passo 3

Reescrevendo como produto:
h(x)=5x^{2}\cdot e^{-x}.
Defino as duas funções que aparecem no produto:
u(x)=5x^{2},\qquad v(x)=e^{-x}.
Queremos h'(x)=(u\cdot v)'=u'v+uv' (regra do produto).

Passo 4

Recordando a regra do produto e a regra da cadeia de forma clara:
  • Regra do produto: se \;u(x) e \;v(x) são diferenciáveis, então
(u\cdot v)'=u'v+uv',
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
  • Regra da cadeia (caso exponencial composto): se v(x)=e^{g(x)}, então
v'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x),
onde g'(x) é a derivada da função interna g(x).
Aqui, em v(x)=e^{-x} temos g(x)=-x e g'(x)=-1.

Passo 5

Calcular u'(x) e v'(x) passo a passo:
  • Para u(x)=5x^{2}, a regra potência diz que a derivada de x^{2} é 2x. Então
u'(x)=5\cdot 2x=10x.
Expliquei: multiplica-se o coeficiente pelo expoente e diminui-se o expoente em 1.
  • Para v(x)=e^{-x}, uso a regra da cadeia com g(x)=-x. Primeiro g'(x)=-1. Logo
v'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.
Expliquei: a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)} vezes a derivada de g(x).

Passo 6

Aplicando a regra do produto (u\cdot v)'=u'v+uv':
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u',u,v,v' obtidos:
h'(x)=10x\cdot e^{-x} + 5x^{2}\cdot(-e^{-x}).

Passo 7

Agora fatoro e simplifico passo a passo:
Primeiro fator comum e^{-x}:
h'(x)=e^{-x}\big(10x - 5x^{2}\big).
Posso fatorar 5x dentro do parêntese:
h'(x)=e^{-x}\cdot 5x\big(2 - x\big).
Ou seja,
h'(x)=5x\,e^{-x}(2-x).
Se quiser escrever no formato original com e^{x} no denominador, note que e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}, então
h'(x)=\frac{5x(2-x)}{e^{x}}.

Passo 8

Breve interpretação: o resultado mostra um fator x (ou seja, a derivada zera em x=0) e o termo (2-x) que indica outra raiz em x=2; o fator exponencial e^{-x} apenas escala a curva e nunca muda de sinal. Isso pode ajudar em aplicações rápidas na prova (pontos críticos, sinal da derivada, etc.).

Resposta

h'(x)=5x\,e^{-x}(2-x)=\frac{5x(2-x)}{e^{x}}

Exercícios relacionados