Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule a derivada
. Não há outros dados. O objetivo é aplicar regras de derivação (produto, cadeia ou quociente) para obter
.
Passo 2
Vou escolher um método prático: reescrever a função como um produto e usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia. Motivo: dividir por
é equivalente a multiplicar por
, e a derivação de
é direta pela regra da cadeia; isso torna o cálculo mais simples e menos propenso a erros do que aplicar direto a regra do quociente. (Se preferir, mais tarde dá para confirmar que o resultado coincide com o da regra do quociente.)
Passo 3
Reescrevendo como produto:
Defino as duas funções que aparecem no produto:
Queremos
(regra do produto).
Passo 4
Recordando a regra do produto e a regra da cadeia de forma clara:
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
onde
e
são as derivadas de
e
.
- Regra da cadeia (caso exponencial composto): se
, então
onde
é a derivada da função interna
.
Aqui, em
temos
e
.
Passo 5
Calcular
e
passo a passo:
- Para
, a regra potência diz que a derivada de é . Então
Expliquei: multiplica-se o coeficiente pelo expoente e diminui-se o expoente em 1.
- Para
, uso a regra da cadeia com . Primeiro . Logo
Expliquei: a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto
:
Substituindo
obtidos:
Passo 7
Agora fatoro e simplifico passo a passo:
Primeiro fator comum :
Primeiro fator comum
Posso fatorar
dentro do parêntese:
Ou seja,
Se quiser escrever no formato original com
no denominador, note que
, então
Passo 8
Breve interpretação: o resultado mostra um fator
(ou seja, a derivada zera em
) e o termo
que indica outra raiz em
; o fator exponencial
apenas escala a curva e nunca muda de sinal. Isso pode ajudar em aplicações rápidas na prova (pontos críticos, sinal da derivada, etc.).