Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
g(x)=\frac{x \cdot \ln (x)}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para calcular a derivada de g(x).
  • A função dada é g(x)=\frac{x\cdot\ln(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
  • Informações relevantes sobre domínio (importantíssimo antes de derivar):
    • A função \ln(x) exige que x>0.
    • O denominador \operatorname{sen}(x) não pode ser zero, logo x deve ser tal que \operatorname{sen}(x)\neq0.
  • A resposta solicitada é a expressão de g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação das regras necessárias) — aula rápida e bem prática:
  • Quando uma função é um quociente \dfrac{u(x)}{v(x)}, a regra do quociente dá a derivada como
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'=\dfrac{d}{dx}u(x) e v'=\dfrac{d}{dx}v(x).
  • Aqui u(x)=x\cdot\ln(x) e v(x)=\operatorname{sen}(x).
  • Para calcular u'(x) precisamos da regra do produto: se u(x)=a(x)\cdot b(x), então
u'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x).
  • No nosso caso a(x)=x e b(x)=\ln(x).
  • Regras básicas que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dx}\,\ln(x)=\dfrac{1}{x} (válido para x>0).
    • \dfrac{d}{dx}\,\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
    • \dfrac{d}{dx}\,x=1.
  • Observação sobre a regra da cadeia: é usada quando há funções compostas (por exemplo \ln(2x) ou \sin(x^2)). Aqui aplicaremos ideia da cadeia implicitamente nas derivadas padrões acima quando necessário, mas não há composição complicada além de \ln(x) e \operatorname{sen}(x).

Passo 3

Calcular u'(x) passo a passo usando a regra do produto:
  • Lembrando u(x)=x\cdot\ln(x), com a(x)=x e b(x)=\ln(x).
  • Derivadas das partes: \dfrac{d}{dx}a(x)=\dfrac{d}{dx}x=1 e \dfrac{d}{dx}b(x)=\dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Aplicando a regra do produto:
u'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}.
  • Simplificando x\cdot\frac{1}{x}=1, obtemos
u'(x)=\ln(x)+1.

Passo 4

Calcular v'(x):
  • Lembrando v(x)=\operatorname{sen}(x).
  • A derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x), logo
v'(x)=\cos(x).

Passo 5

Aplicar a regra do quociente e simplificar a expressão:
  • A regra do quociente dá
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
  • Substituindo u(x)=x\ln(x), u'(x)=\ln(x)+1, v(x)=\operatorname{sen}(x) e v'(x)=\cos(x), temos
g'(x)=\frac{\big(\ln(x)+1\big)\,\operatorname{sen}(x)-\big(x\ln(x)\big)\,\cos(x)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}.
  • Essa é uma forma correta e suficiente para a prova. Podemos apresentar também uma forma equivalente, separando termos se preferir:
g'(x)=\frac{\ln(x)+1}{\operatorname{sen}(x)}-\frac{x\ln(x)\cos(x)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}.
  • Lembrete final: essa derivada vale para x>0 e tal que \operatorname{sen}(x)\neq0.

Resposta

g'(x)=\frac{\big(\ln(x)+1\big)\,\operatorname{sen}(x)-x\ln(x)\cos(x)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}

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