Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para calcular a derivada de
. - A função dada é
- Informações relevantes sobre domínio (importantíssimo antes de derivar):
- A função
exige que . - O denominador
não pode ser zero, logo deve ser tal que .
- A função
- A resposta solicitada é a expressão de
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Qual método vamos usar (explicação das regras necessárias) — aula rápida e bem prática:
- Quando uma função é um quociente
, a regra do quociente dá a derivada como
onde
e
.
- Aqui
e . - Para calcular
precisamos da regra do produto: se , então
- No nosso caso
e . - Regras básicas que vamos usar:
-
(válido para ). -
. -
.
-
- Observação sobre a regra da cadeia: é usada quando há funções compostas (por exemplo
ou ). Aqui aplicaremos ideia da cadeia implicitamente nas derivadas padrões acima quando necessário, mas não há composição complicada além de e .
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a regra do produto:
- Lembrando
, com e . - Derivadas das partes:
e . - Aplicando a regra do produto:
- Simplificando
, obtemos
Passo 4
Calcular
:
- Lembrando
. - A derivada de
é , logo
Passo 5
Aplicar a regra do quociente e simplificar a expressão:
- A regra do quociente dá
- Substituindo
, , e , temos
- Essa é uma forma correta e suficiente para a prova. Podemos apresentar também uma forma equivalente, separando termos se preferir:
- Lembrete final: essa derivada vale para
e tal que .