Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando as regras de derivação (produto, quociente, cadeia). As informações dadas são:
- A função a derivar é
. - Quer-se
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vamos usar a ideia básica que vale para composições de funções: se uma função
é dada por
, então a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicando os símbolos:
-
é a função “externa” (a que age por último); -
é a função “interna” (a que entra dentro de ); -
é a derivada de em relação à sua variável ; -
é a derivada de em relação a ; - o produto
significa que se diferencia a externa e multiplica pelo que é a derivada da interna.
Passo 3
Identificar externa e interna na nossa função:
- A parte externa é a função
(onde é a variável da função externa). - A parte interna é
(é o argumento que está dentro do ).
Portanto
com
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas das partes:
- Derivada da externa: para
vale . (Regra básica: a derivada de é .) - Derivada da interna: para
usamos a regra do constante vezes potência. A derivada de é (regra do poder), então
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia:
Substituindo
e
,
Organizando os fatores:
Passo 6
Checagem rápida e dica para a prova:
- Verifique um ponto fácil: para
, , faz sentido pois é constante localmente na origem. - Dica prática: em composições com trig + polinômio, identifique rapidamente a função externa (
, , etc.) e a interna (o polinômio), derive a externa deixando o argumento intacto e multiplique pela derivada do argumento.