Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
g(x)=\cos \left(4 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g(x)=\cos\left(4x^{3}\right) usando as regras de derivação (produto, quociente, cadeia). As informações dadas são:
  • A função a derivar é g(x)=\cos\left(4x^{3}\right).
  • Quer-se g'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a ideia básica que vale para composições de funções: se uma função h é dada por h(x)=f(u(x)), então a derivada é dada pela regra da cadeia:
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando os símbolos:
  • f é a função “externa” (a que age por último);
  • u(x) é a função “interna” (a que entra dentro de f);
  • f'(t) é a derivada de f em relação à sua variável t;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • o produto f'(u(x))\cdot u'(x) significa que se diferencia a externa e multiplica pelo que é a derivada da interna.

Passo 3

Identificar externa e interna na nossa função:
  • A parte externa é a função \,f(t)=\cos t\, (onde t é a variável da função externa).
  • A parte interna é \,u(x)=4x^{3}\, (é o argumento que está dentro do \cos).
Portanto g(x)=f(u(x)) com f(t)=\cos t e u(x)=4x^{3}.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes:
  • Derivada da externa: para f(t)=\cos t vale f'(t)=-\sin t. (Regra básica: a derivada de \cos é -\sin.)
  • Derivada da interna: para u(x)=4x^{3} usamos a regra do constante vezes potência. A derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra do poder), então
u'(x)=4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia:
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = \bigl(-\sin\bigl(u(x)\bigr)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=4x^{3} e u'(x)=12x^{2},
g'(x) = -\sin\bigl(4x^{3}\bigr)\cdot 12x^{2}.
Organizando os fatores:
g'(x) = -12x^{2}\,\sin\bigl(4x^{3}\bigr).

Passo 6

Checagem rápida e dica para a prova:
  • Verifique um ponto fácil: para x=0, g'(0)=-12\cdot0^{2}\sin(0)=0, faz sentido pois \cos(4\cdot0^{3})=\cos 0 é constante localmente na origem.
  • Dica prática: em composições com trig + polinômio, identifique rapidamente a função externa ( \cos, \sin, etc.) e a interna (o polinômio), derive a externa deixando o argumento intacto e multiplique pela derivada do argumento.

Resposta

\displaystyle -12x^{2}\sin\bigl(4x^{3}\bigr)

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