Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(t)=5^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo usando regras de derivação:
f(t)=5^{3t}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é uma exponencial com base 5 e expoente 3t.
  • Pede-se f'(t), a derivada de f em relação a t.

Passo 2

Revisão da ideia e das regras que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Regra da cadeia (intuição): quando uma função é composta, isto é, tem a forma h(t)=g(u(t)), a derivada é a derivada de g em relação a u multiplicada pela derivada de u em relação a t. Em fórmulas:
\text{Se } h(t)=g(u(t))\quad\Rightarrow\quad h'(t)=g'\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Cada símbolo significa:
  • h(t) é a função composta.
  • g(u) é a função externa (derivada em relação à sua entrada u).
  • u(t) é a função interna (derivada em relação a t).
  • g'\big(u(t)\big) é a derivada de g avaliada em u(t).
  • u'(t) é a derivada de u em relação a t.
  • Derivada da exponencial de base a>0: para uma função y=a^{x} com a>0, a derivada é
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln(a).
Aqui \ln é o logaritmo natural. Intuição rápida de por que isso vale: escrever a^{x}=e^{x\ln a} e derivar usando a regra da cadeia para a exponencial natural e^{(\cdot)}:
\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot(\ln a)=a^{x}\ln a.
  • Combinação das duas ideias: se o expoente é uma função u(x), ou seja y=a^{u(x)}, aplica-se a regra da cadeia e obtém-se
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Neste caso:
  • a é a base constante,
  • u(x) é o expoente (função interna),
  • u'(x) é a derivada do expoente.

Passo 3

Identificar a composição na função dada e escolher u(t).
  • Aqui f(t)=5^{3t} é da forma a^{u(t)} com a=5 e
u(t)=3t.
Portanto vamos aplicar a fórmula \dfrac{d}{dt}a^{u(t)}=a^{u(t)}\ln(a)\cdot u'(t).

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(t).
  • Como u(t)=3t, a derivada em relação a t é
u'(t)=3,
porque a derivada de at (com a constante) é a.

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada da exponencial composta.
  • Usando a=5, u(t)=3t e u'(t)=3, obtemos
f'(t)=5^{3t}\ln(5)\cdot 3.

Passo 6

Organizar e simplificar a expressão final de forma usual.
  • Multiplicando os fatores numéricos, uma forma mais compacta é
f'(t)=3\ln(5)\cdot 5^{3t}.

Resposta

f'(t)=3\ln(5)\cdot 5^{3t}

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