Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo usando regras de derivação:
Informações dadas e o que se pede:
- A função é uma exponencial com base
e expoente . - Pede-se
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Revisão da ideia e das regras que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
- Regra da cadeia (intuição): quando uma função é composta, isto é, tem a forma
, a derivada é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a . Em fórmulas:
Cada símbolo significa:
-
é a função composta. -
é a função externa (derivada em relação à sua entrada ). -
é a função interna (derivada em relação a ). -
é a derivada de avaliada em . -
é a derivada de em relação a . -
Derivada da exponencial de base
: para uma função com , a derivada é
Aqui
é o logaritmo natural. Intuição rápida de por que isso vale: escrever
e derivar usando a regra da cadeia para a exponencial natural
:
- Combinação das duas ideias: se o expoente é uma função
, ou seja , aplica-se a regra da cadeia e obtém-se
Neste caso:
-
é a base constante, -
é o expoente (função interna), -
é a derivada do expoente.
Passo 3
Identificar a composição na função dada e escolher
.
- Aqui
é da forma com e
Portanto vamos aplicar a fórmula
.
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
.
- Como
, a derivada em relação a é
porque a derivada de
(com
constante) é
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da derivada da exponencial composta.
- Usando
, e , obtemos
Passo 6
Organizar e simplificar a expressão final de forma usual.
- Multiplicando os fatores numéricos, uma forma mais compacta é