Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
definida por
Informações dadas:
- A função está escrita como uma raiz quadrada de uma expressão em
: . - A tarefa é encontrar
usando regras de derivação (produto, quociente, cadeia).
Passo 2
Primeira manipulação útil (re-escrever a função de forma conveniente):
Comentário importante sobre identidade de raízes:
. Assim, alternativamente,
Ambas as formas são verdadeiras e serão úteis para interpretar o resultado final.
Passo 3
Escolha do método: aqui a forma
é uma composição de funções (uma potência
aplicada a
). A regra mais direta é a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma direta e simples.
Regra da cadeia (explicada): se uma função
é composta como
, então a derivada é
Isto significa: derive a função externa
avaliando-a na interna
e multiplique pela derivada da função interna
. Exemplo rápido: para
toma-se
,
, daí
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia a
.
-
Identificação:
- função externa
, - função interna
.
- função externa
-
Derivadas das partes:
-
, -
(porque a derivada de é ).
-
-
Pela regra da cadeia:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
- Multiplicando os coeficientes:
. Então
- Reescrevendo com raiz no denominador:
Passo 6
Interpretar e simplificar usando
(lembre que
):
Como
e
é a função sinal (sign) de
para
, obtemos, para
,
ou seja é
quando
e
quando
.
Observação sobre
: a função
tem uma quina (canto) em
, portanto a derivada não existe em
. Pode-se ver também porque o limite da diferença quociente à direita dá
e à esquerda dá
.