Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{3 x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de f definida por
f(x)=\sqrt{3 x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função está escrita como uma raiz quadrada de uma expressão em x: \sqrt{3 x^{2}}.
  • A tarefa é encontrar f'(x) usando regras de derivação (produto, quociente, cadeia).

Passo 2

Primeira manipulação útil (re-escrever a função de forma conveniente):
f(x)=\sqrt{3 x^{2}}=(3x^{2})^{1/2}.
Comentário importante sobre identidade de raízes: \sqrt{x^{2}}=|x|. Assim, alternativamente,
f(x)=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}}=\sqrt{3}\,|x|.
Ambas as formas são verdadeiras e serão úteis para interpretar o resultado final.

Passo 3

Escolha do método: aqui a forma (3x^{2})^{1/2} é uma composição de funções (uma potência u^{1/2} aplicada a u=3x^{2}). A regra mais direta é a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma direta e simples.
Regra da cadeia (explicada): se uma função F é composta como F(x)=g(h(x)), então a derivada é
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Isto significa: derive a função externa g avaliando-a na interna h(x) e multiplique pela derivada da função interna h. Exemplo rápido: para F(x)=(\sin x)^{2} toma-se g(u)=u^{2}, h(x)=\sin x, daí F'(x)=2(\sin x)\cdot\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia a f(x)=(3x^{2})^{1/2}.
  • Identificação:
    • função externa g(u)=u^{1/2},
    • função interna h(x)=3x^{2}.
  • Derivadas das partes:
    • g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2},
    • h'(x)=6x (porque a derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2x=6x).
  • Pela regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x) =\dfrac{1}{2}\big(3x^{2}\big)^{-1/2}\cdot 6x.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
  • Multiplicando os coeficientes: \dfrac{1}{2}\cdot 6x=3x. Então
f'(x)=3x\big(3x^{2}\big)^{-1/2}.
  • Reescrevendo com raiz no denominador:
f'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^{2}}}.

Passo 6

Interpretar e simplificar usando \sqrt{3x^{2}}=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}}=\sqrt{3}\,|x| (lembre que \sqrt{x^{2}}=|x|):
f'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{3}\,|x|}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{x}{|x|}.
Como \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} e \dfrac{x}{|x|} é a função sinal (sign) de x para x\neq 0, obtemos, para x\neq 0,
f'(x)=\sqrt{3}\,\operatorname{sgn}(x),
ou seja é \sqrt{3} quando x>0 e -\sqrt{3} quando x<0.
Observação sobre x=0: a função f(x)=\sqrt{3}\,|x| tem uma quina (canto) em x=0, portanto a derivada não existe em x=0. Pode-se ver também porque o limite da diferença quociente à direita dá +\sqrt{3} e à esquerda dá -\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^{2}}}\quad\text{para }x\neq 0
\displaystyle\text{equivalente a }f'(x)=\sqrt{3}\,\operatorname{sgn}(x)\quad\text{para }x\neq 0
\displaystyle f'(0)\text{ não existe.}ã

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