Utilizando as regras de L’Hospital, calcule.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^{2}x}{x\operatorname{sen} x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;1-\cos^{2}x é a expressão do numerador.
\;x\operatorname{sen} x é a expressão do denominador.
Ao avaliarmos as expressões em x=0 temos \cos 0=1 e \operatorname{sen} 0=0, portanto o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0. Concluímos que a forma do limite é uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada de forma didática): a regra de L’Hospital diz que, se
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
é uma indeterminação do tipo 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Ou seja: podemos derivar numerador e denominador separadamente e reavaliar o limite. Se a nova expressão ainda for indeterminada, podemos repetir o processo quantas vezes forem necessárias.
Antes de aplicar, vou recordar as derivadas que usarei:
  • Derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x.
  • Derivada de \operatorname{sen} x é \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \cos x.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se h(x)=\big(k(x)\big)^{2} então h'(x)=2k(x)\cdot k'(x).

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez à nossa indeterminação \dfrac{0}{0}: tomamos f(x)=1-\cos^{2}x e g(x)=x\operatorname{sen} x.
Calculemos f'(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(1-\cos^{2}x\big)= -\frac{d}{dx}\big(\cos^{2}x\big).
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\cos^{2}x\big)=2\cos x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)=2\cos x\cdot(-\operatorname{sen} x)=-2\cos x\operatorname{sen} x.
Portanto
f'(x) = -(-2\cos x\operatorname{sen} x)=2\cos x\operatorname{sen} x.
Calculemos g'(x) usando a regra do produto:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\operatorname{sen} x\big)=1\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\cos x=\operatorname{sen} x + x\cos x.
Pela regra de L’Hospital obtemos o novo limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^{2}x}{x\operatorname{sen} x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + x\cos x}.

Passo 4

Verificação da nova forma: substituindo x=0 em \dfrac{2\cos x\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + x\cos x} \dfrac{2\cdot 1\cdot 0}{0 + 0\cdot 1}=\dfrac{0}{0}. Ainda é indeterminação, então podemos aplicar L’Hospital outra vez.
Derivemos numerador e denominador novamente.
Numerador h(x)=2\cos x\operatorname{sen} x. Usando a regra do produto:
h'(x)=2\big(\frac{d}{dx}\cos x\cdot\operatorname{sen} x + \cos x\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x\big) =2\big((- \operatorname{sen} x)\operatorname{sen} x + \cos x\cos x\big).
Simplificando,
h'(x)=2\big(-\operatorname{sen}^{2}x + \cos^{2}x\big)=2\big(\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x\big).
Podemos reconhecer a identidade trigonométrica da função cosseno do ângulo duplo:
\cos 2x = \cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x,
logo
h'(x)=2\cos 2x.
Denominador k(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x. Derivando:
k'(x)=\cos x + \big(\cos x - x\operatorname{sen} x\big)=2\cos x - x\operatorname{sen} x.
Aplicando L’Hospital pela segunda vez obtemos
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos x\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + x\cos x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos 2x}{2\cos x - x\operatorname{sen} x}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite por substituição direta, porque não há mais indeterminação: substituindo x=0,
\text{numerador} = 2\cos(2\cdot 0)=2\cos 0=2\cdot 1=2,
\text{denominador} = 2\cos 0 - 0\cdot\operatorname{sen} 0=2\cdot 1 - 0 = 2.
Portanto
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos 2x}{2\cos x - x\operatorname{sen} x}=\frac{2}{2}=1.
Observação didática final: existe um caminho muito mais curto sem L’Hospital: usar \;1-\cos^{2}x=\operatorname{sen}^{2}x\; e simplificar
\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x\operatorname{sen} x}=\frac{\operatorname{sen} x}{x}\xrightarrow[x\to 0]{}1,
o que dá o mesmo resultado. Mas como o enunciado pedia L’Hospital, mostramos a aplicação repetida acima.

Resposta

\;1

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