Utilizando as regras de L’Hospital, calcule.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é a expressão do numerador.
é a expressão do denominador.
Ao avaliarmos as expressões em temos
e
, portanto o numerador tende a
e o denominador tende a
. Concluímos que a forma do limite é uma indeterminação do tipo
.
Ao avaliarmos as expressões em
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada de forma didática): a regra de L’Hospital diz que, se
é uma indeterminação do tipo
ou
, e se
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
(exceto possivelmente em
), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Ou seja: podemos derivar numerador e denominador separadamente e reavaliar o limite. Se a nova expressão ainda for indeterminada, podemos repetir o processo quantas vezes forem necessárias.
Antes de aplicar, vou recordar as derivadas que usarei:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
então .
Passo 3
Aplicando L’Hospital pela primeira vez à nossa indeterminação
: tomamos
e
.
Calculemos
:
Usando a regra da cadeia,
Portanto
Calculemos
usando a regra do produto:
Pela regra de L’Hospital obtemos o novo limite
Passo 4
Verificação da nova forma: substituindo
em
dá
. Ainda é indeterminação, então podemos aplicar L’Hospital outra vez.
Derivemos numerador e denominador novamente.
Numerador
. Usando a regra do produto:
Simplificando,
Podemos reconhecer a identidade trigonométrica da função cosseno do ângulo duplo:
logo
Denominador
. Derivando:
Aplicando L’Hospital pela segunda vez obtemos
Passo 5
Agora avaliamos o limite por substituição direta, porque não há mais indeterminação: substituindo
,
Portanto
Observação didática final: existe um caminho muito mais curto sem L’Hospital: usar
e simplificar
o que dá o mesmo resultado. Mas como o enunciado pedia L’Hospital, mostramos a aplicação repetida acima.