Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(\cos x)^{x^{3}}\

Passo 1

Enunciado: Calcular a derivada da função (\cos x)^{x^{3}}.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=(\cos x)^{x^{3}}.
O que se pede: encontrar f'(x), a derivada em função de x.
Observação importante sobre domínio: para trabalhar com \ln de \cos x e manter a função real, vou considerar os pontos onde \cos x>0. Em pontos com \cos x\le 0 a expressão (\cos x)^{x^3} pode não ser real ou pode exigir cuidados adicionais (expoentes inteiros, etc.); aqui derivamos na parte do domínio em que \cos x>0.

Passo 2

Estratégia (por que usar esse método): temos uma função em que a base depende de x (ou seja, \cos x) e o expoente também depende de x (ou seja, x^3). Esse tipo de expressão é mais fácil de derivar usando diferenciação logarítmica: fazemos \ln do lado esquerdo para transformar potência em produto, diferenciamos implicitamente e depois retornamos à função original. Essa técnica evita expandir regras complicadas diretamente.

Passo 3

Define y e aplica \ln: seja \displaystyle y=(\cos x)^{x^{3}}. Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
\ln y = x^{3}\ln(\cos x).
Aqui usamos a propriedade de logaritmos \ln(a^{b})=b\ln a.

Passo 4

Diferenciação implícita: derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{y'}{y},
onde y'=\dfrac{dy}{dx}. Do lado direito aplicamos a regra do produto a x^{3} e \ln(\cos x). A regra do produto diz: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'. Assim,
\frac{y'}{y} = \big(x^{3}\big)'\ln(\cos x) + x^{3}\frac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big).

Passo 5

Calcular derivadas intermediárias: \big(x^{3}\big)'=3x^{2}. Para \dfrac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big) usamos a regra da cadeia: derivada de \ln(u) é \dfrac{u'}{u}, com u=\cos x e u'=-\sin x. Logo
\frac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Substituindo em \dfrac{y'}{y} obtemos
\frac{y'}{y}=3x^{2}\ln(\cos x)+x^{3}\big(-\tan x\big).
Ou seja,
\frac{y'}{y}=3x^{2}\ln(\cos x)-x^{3}\tan x.

Passo 6

Isolar y' e retornar à função original: multiplicando ambos os lados por y temos
y' = y\Big(3x^{2}\ln(\cos x)-x^{3}\tan x\Big).
Lembrando que y=(\cos x)^{x^{3}}, substituímos de volta:
y'=(\cos x)^{x^{3}}\Big(3x^{2}\ln(\cos x)-x^{3}\tan x\Big).
Podemos, se quisermos, fatorar x^{2}:
y'=(\cos x)^{x^{3}}x^{2}\Big(3\ln(\cos x)-x\tan x\Big).

Passo 7

Resumo das regras usadas (mini-aula):
  • Regra do logaritmo da potência: \ln(a^{b})=b\ln a.
  • Diferenciação implícita para \ln y: \dfrac{d}{dx}\ln y=\dfrac{y'}{y} (por regra da cadeia).
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Derivada de \ln(u(x)): \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}.
  • Identificamos u(x)=\cos x e u'=-\sin x, resultando em \dfrac{d}{dx}\ln(\cos x)=-\tan x.
Exemplo rápido para fixar: para g(x)=(\cos x)^{2} (expoente constante) podemos usar regra da cadeia normal e obter g'(x)=2(\cos x)(-\sin x)=-\sin(2x). Já para (\cos x)^{x^{3}} precisamos da diferenciação logarítmica por ter expoente variável.

Resposta

(\cos x)^{x^{3}}\big(3x^{2}\ln(\cos x)-x^{3}\tan x\big)

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