Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Enunciado: Calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é .
O que se pede: encontrar , a derivada em função de
.
Observação importante sobre domínio: para trabalhar com de
e manter a função real, vou considerar os pontos onde
. Em pontos com
a expressão
pode não ser real ou pode exigir cuidados adicionais (expoentes inteiros, etc.); aqui derivamos na parte do domínio em que
.
Informações dadas: a função é
O que se pede: encontrar
Observação importante sobre domínio: para trabalhar com
Passo 2
Estratégia (por que usar esse método): temos uma função em que a base depende de
(ou seja,
) e o expoente também depende de
(ou seja,
). Esse tipo de expressão é mais fácil de derivar usando diferenciação logarítmica: fazemos
do lado esquerdo para transformar potência em produto, diferenciamos implicitamente e depois retornamos à função original. Essa técnica evita expandir regras complicadas diretamente.
Passo 3
Define
e aplica
: seja
. Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
Aqui usamos a propriedade de logaritmos
.
Passo 4
Diferenciação implícita: derivamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo, pela regra da cadeia,
onde
. Do lado direito aplicamos a regra do produto a
e
. A regra do produto diz: se
então
. Assim,
Passo 5
Calcular derivadas intermediárias:
. Para
usamos a regra da cadeia: derivada de
é
, com
e
. Logo
Substituindo em
obtemos
Ou seja,
Passo 6
Isolar
e retornar à função original: multiplicando ambos os lados por
temos
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos, se quisermos, fatorar
:
Passo 7
Resumo das regras usadas (mini-aula):
- Regra do logaritmo da potência:
. - Diferenciação implícita para
: (por regra da cadeia). - Regra do produto:
. - Derivada de
: . - Identificamos
e , resultando em .
Exemplo rápido para fixar: para
(expoente constante) podemos usar regra da cadeia normal e obter
. Já para
precisamos da diferenciação logarítmica por ter expoente variável.