Utilizando as regras de L’Hospital, calcule. \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0} \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x.
Informações do enunciado:
\text{expressão: }\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x,\qquad\text{ponto de limite: }x\to 0.
Nada mais foi dado na figura ou tabela; só temos essa expressão a ser avaliada no limite.
Passo 2
Transformar a expressão num formato onde a regra de L’Hospital possa ser aplicada. Usamos a identidade \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\tan x}. Assim
\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\tan x}.
Agora verificamos o tipo de forma indeterminada quando x\to 0:
\operatorname{sen} x \xrightarrow[x\to 0]{} 0,\qquad \tan x \xrightarrow[x\to 0]{} 0,
portanto temos uma forma \tfrac{0}{0}, que é exatamente o caso em que a regra de L’Hospital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis perto de 0 e o denominador não tenha derivada nula identicamente no entorno — condições satisfeitas aqui).
Passo 3
Enunciado da regra de L’Hospital (forma prática e intuitiva): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e