Utilizando as regras de L’Hospital, calcule.
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0} \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x.
Informações do enunciado:
\text{expressão: }\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x,\qquad\text{ponto de limite: }x\to 0.ã
Nada mais foi dado na figura ou tabela; só temos essa expressão a ser avaliada no limite.

Passo 2

Transformar a expressão num formato onde a regra de L’Hospital possa ser aplicada. Usamos a identidade \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\tan x}. Assim
\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cotg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\tan x}.
Agora verificamos o tipo de forma indeterminada quando x\to 0:
\operatorname{sen} x \xrightarrow[x\to 0]{} 0,\qquad \tan x \xrightarrow[x\to 0]{} 0,
portanto temos uma forma \tfrac{0}{0}, que é exatamente o caso em que a regra de L’Hospital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis perto de 0 e o denominador não tenha derivada nula identicamente no entorno — condições satisfeitas aqui).

Passo 3

Enunciado da regra de L’Hospital (forma prática e intuitiva): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambos tendem a \pm\infty, e se o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=\tan x satisfazem as hipóteses próximas de 0, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias:
derivada de f(x)=\operatorname{sen} x é
f'(x)=\cos x.
derivada de g(x)=\tan x é
g'(x)=\operatorname{sec}^2 x,
onde definimos \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.
Aplicando L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{\tan x} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{\operatorname{sec}^2 x}.

Passo 5

Simplificar a razão das derivadas:
\frac{\cos x}{\operatorname{sec}^2 x} = \frac{\cos x}{1/\cos^2 x} = \cos x\cdot \cos^2 x = \cos^3 x.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{\tan x} = \lim_{x\to 0}\cos^3 x.

Passo 6

Avaliar o limite final: a função \cos x é contínua, logo podemos trocar limite e potência:
\lim_{x\to 0}\cos^3 x = \bigl(\lim_{x\to 0}\cos x\bigr)^3 = \cos^3 0 = 1^3 = 1.
Então o limite pedido vale 1. Boa! Mesmo usando a regra de L’Hospital chegamos ao mesmo valor que obteríamos ao simplificar diretamente.

Resposta

1

Exercícios relacionados