Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{1-x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{1 - x}{x + 1}.
O conteúdo aqui é estudo de funções racionais: vamos determinar domínio, interceptos, assíntotas, sinal, monotonicidade e comportamento nos extremos para então esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e os interceptos.
O denominador x+1 não pode ser zero, logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.
Para o intercepto em y (tomando x=0):
f(0)=\frac{1-0}{0+1}=1,
logo passa por (0,1).
Para o intercepto em x (zerar o numerador 1-x=0):
x=1,
logo passa por (1,0).

Passo 3

Encontrar as assíntotas.
  1. Vertical em x=-1, pois ali o denominador zera.
  2. Horizontal em y=-1, usando divisão de polinômios:
\frac{1-x}{x+1} = -1 + \frac{2}{x+1},
portanto, conforme x\to\pm\infty, \tfrac{2}{x+1}\to0 e f(x)\to -1.

Passo 4

Estudar o sinal e o comportamento junto às assíntotas.
  • Para x\to -1^-: x+1\to0^-, numerador 1-x\approx2>0, logo f(x)\to -\infty.
  • Para x\to -1^+: x+1\to0^+, numerador >0, logo f(x)\to +\infty.
  • Para x\to+\infty: f(x)\to -1^+ (aproxima-se de -1 por cima).
  • Para x\to-\infty: f(x)\to -1^- (por baixo).

Passo 5

Verificar monotonicidade.
Calculando a derivada:
f'(x) = \frac{-(x+1) - (1-x)\cdot1}{(x+1)^2} = \frac{-x-1 -1 + x}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2}<0\quad\forall x\neq -1.
Logo f é estritamente decrescente em cada ramo (-\infty,-1) e (-1,\infty).

Passo 6

Esboço final.
  • Ramo esquerdo (-\infty,-1): parte de y=-1^- para x\to-\infty e cai até -\infty quando x\to-1^-.
  • Ramo direito (-1,\infty): sai de +\infty em x\to-1^+, passa pelos pontos (0,1) e (1,0), e decresce tendendo a y=-1^+ quando x\to+\infty.

Resposta

O gráfico tem domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\}, assíntotas em x=-1 (vertical) e y=-1 (horizontal), interceptos em (0,1) e (1,0), e é decrescente em cada ramo, conforme esboçado acima.

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