Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
O conteúdo aqui é estudo de funções racionais: vamos determinar domínio, interceptos, assíntotas, sinal, monotonicidade e comportamento nos extremos para então esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e os interceptos.
O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
O denominador
Para o intercepto em
(tomando
):
logo passa por
.
Para o intercepto em (zerar o numerador
):
Para o intercepto em
logo passa por
.
Passo 3
Encontrar as assíntotas.
- Vertical em
, pois ali o denominador zera. - Horizontal em
, usando divisão de polinômios:
portanto, conforme
,
e
.
Passo 4
Estudar o sinal e o comportamento junto às assíntotas.
- Para
: , numerador , logo . - Para
: , numerador , logo . - Para
: (aproxima-se de por cima). - Para
: (por baixo).
Passo 5
Verificar monotonicidade.
Calculando a derivada:
Calculando a derivada:
Logo
é estritamente decrescente em cada ramo
e
.
Passo 6
Esboço final.
- Ramo esquerdo
: parte de para e cai até quando . - Ramo direito
: sai de em , passa pelos pontos e , e decresce tendendo a quando .
Resposta
O gráfico tem domínio
, assíntotas em
(vertical) e
(horizontal), interceptos em
e
, e é decrescente em cada ramo, conforme esboçado acima.