Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{3 x-2}{-x+3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x) = \frac{3x - 2}{-\,x + 3}.
Conteúdo: estudo de funções racionais de grau 1/1. Vamos determinar domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos, comportamento em cada região e, por fim, descrever o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio. O denominador não pode ser zero:
-\,x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3.
Logo, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3\}.

Passo 3

Encontrar as assíntotas.
1. Assíntota vertical: ocorre em x=3.
2. Assíntota horizontal: grau do numerador = grau do denominador =1, então é a razão dos coeficientes principais:
y = \frac{3}{-1} = -3.

Passo 4

Calcular os interceptos com os eixos.
1. Intercepto x: resolver 3x - 2 = 0
x = \frac{2}{3},\quad\text{ponto } \bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr).
2. Intercepto y: em x=0,
f(0) = \frac{3\cdot 0 - 2}{-0 + 3} = -\frac{2}{3},\quad\text{ponto } \bigl(0,-\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 5

Analisar o comportamento em cada região:
1. x\to -\infty ou x\to +\infty: f(x)\to -3.
2. x\to 3^-: denominador \to0^+, numerador em x<3 é >0 se x>\tfrac23, logo f(x)\to +\infty.
3. x\to 3^+: denominador \to0^-, numerador em x>3 é >0, logo f(x)\to -\infty.
Escolhemos dois pontos extras para guiar o esboço:
f(2) = \frac{6-2}{-2+3} = 4, \qquad f(4) = \frac{12-2}{-4+3} = -10.

Passo 6

Descrever o esboço do gráfico:
  • Para x<3: o ramo parte de y\approx -3 quando x\to -\infty, sobe gradualmente, cruza o eixo x em \bigl(\tfrac23,0\bigr), passa em (2,4) e diverge para +\infty quando x\to3^-.
  • Para x>3: o ramo sai de -\infty em x\to3^+, passa em (4,-10) e sobe, aproximando-se de y=-3 por baixo quando x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=\tfrac{3x-2}{-x+3} tem:
– domínio \mathbb{R}\setminus\{3\}.
– assíntota vertical x=3.
– assíntota horizontal y=-3.
– interceptos em \bigl(\tfrac23,0\bigr) e \bigl(0,-\tfrac23\bigr).
– ramo à esquerda de x=3 subindo de y=-3 até +\infty; ramo à direita de x=3 subindo de -\infty até y=-3.

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