1. Resolva o PVI usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-2y'-3y=3t e^{2t},\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. O conteúdo envolvido é transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplique \mathcal{L} em ambos os lados. Usamos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y\}=Y(s),
e
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^2}.
Logo,
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-1\bigr)\;-\;3Y(s) =\;3\cdot\frac{1}{(s-2)^2}.
Isso dá
(s^2-2s-3)\,Y(s)\;-\;s+2 \;=\;\frac{3}{(s-2)^2}.

Passo 3

Isole Y(s):
(s^2-2s-3)\,Y(s) =\frac{3}{(s-2)^2}+s-2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} \;+\;\frac{3}{(s-2)^2\,(s-3)(s+1)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada termo. Primeiro,
\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} =\frac{1/4}{s-3}+\frac{3/4}{s+1}.
Depois,
\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{(s-2)^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+1},
com B=-1, C=3/4, D=-1/12 e A=-2/3.
Somando tudo,
Y(s) = \frac{1}{s-3} +\frac{2/3}{s+1} -\frac{2/3}{s-2} -\frac{1}{(s-2)^2}.

Passo 5

Inverta termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-3}\Bigr\}=e^{3t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{2/3}{s+1}\Bigr\}=\tfrac{2}{3}e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{-2/3}{s-2}\Bigr\}=-\tfrac{2}{3}e^{2t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{-1}{(s-2)^2}\Bigr\}=-t e^{2t}.
Somando,
y(t)=e^{3t}+\tfrac{2}{3}e^{-t}-\tfrac{2}{3}e^{2t}-t\,e^{2t}.

Resposta

\boxed{y(t)=e^{3t}+\frac{2}{3}e^{-t}-\frac{2}{3}e^{2t}-t\,e^{2t}.}

Exercícios relacionados