a) Aproxime a função f(x)=\sqrt{x} do polinômio de Taylor T_{3}(x) centrado em a=4.
b) Use a desigualdade de Taylor R_{n}(x)\left|\leq \frac{M}{(n+1)!}\right| x-\left.a\right|^{n+1} para estimar a precisão da aproximação f(x) \approx T_{n}(x) quando x estiver no intervalo 3,8 \leq x \leq 4,2.

Passo 1

O enunciado pede em (a) desenvolver a função f(x)=\sqrt{x} em torno de a=4 até o termo de ordem 3, isto é, achar o polinômio de Taylor T_{3}(x). Em (b) devemos usar a desigualdade do resto de Taylor
\bigl|R_{n}(x)\bigr|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\bigl|x-a\bigr|^{\,n+1}
para estimar a precisão quando x\in[3,8,4,2]. Vamos precisar das derivadas de f até a quarta ordem e da fórmula geral de Taylor com resto.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f em x, avaliadas em a=4:
f(x)=x^{1/2},\quad f'(x)=\frac1{2\,x^{1/2}},\quad f''(x)=-\frac1{4\,x^{3/2}},\quad f'''(x)=\frac{3}{8\,x^{5/2}},\quad f^{(4)}(x)=-\frac{15}{16\,x^{7/2}}.
Em x=4 temos
f(4)=2,\quad f'(4)=\frac1{2\cdot2}= \frac14,\quad f''(4)=-\frac1{4\cdot8}=-\frac1{32},\quad f'''(4)=\frac{3}{8\cdot32}=\frac{3}{256}.

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de a=4 é
T_{3}(x)=f(4)+f'(4)(x-4)+\frac{f''(4)}{2!}(x-4)^{2}+\frac{f'''(4)}{3!}(x-4)^{3}.
Substituindo as derivadas:
T_{3}(x)=2+\frac14\,(x-4) -\frac{1}{32\cdot2}\,(x-4)^{2} +\frac{3}{256\cdot6}\,(x-4)^{3}.
Simplificando os coeficientes:
T_{3}(x)=2+\frac14(x-4) -\frac1{64}(x-4)^{2} +\frac1{512}(x-4)^{3}.

Passo 4

Para o resto usamos
\bigl|R_{3}(x)\bigr|\le \frac{M}{4!}\,\bigl|x-4\bigr|^{4},
onde
M=\max_{\,\xi\in[3{,}8,\,4{,}2]}\bigl|f^{(4)}(\xi)\bigr| =\max_{\xi}\frac{15}{16\,\xi^{7/2}}.
Como \xi^{7/2} é mínimo em \xi=3,8, temos
M=\frac{15}{16\,(3{,}8)^{7/2}}.

Passo 5

Numericamente, (3{,}8)^{7/2}\approx106{,}95, logo
M\approx\frac{15}{16\cdot106{,}95}\approx0{,}00877.
E como \bigl|x-4\bigr|\le0{,}2, temos
\bigl|R_{3}(x)\bigr|\le \frac{0{,}00877}{4!}\,(0{,}2)^{4} =\frac{0{,}00877}{24}\times0{,}0016 \approx5{,}8\times10^{-7}.

Resposta

a)
T_{3}(x)=2+\frac14(x-4)-\frac1{64}(x-4)^{2}+\frac1{512}(x-4)^{3}.
b) Para x\in[3{,}8,4{,}2], o erro satisfaz aproximadamente
\bigl|R_{3}(x)\bigr|\le6\times10^{-7}.

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