Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é análise de funções racionais: vamos precisar determinar o domínio, assíntotas verticais e horizontais, estudar o sinal de
em cada intervalo e obter alguns pontos-chave para guiar o desenho.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador
anula-se quando
Logo o domínio é
e há assíntotas verticais em
e em
.
Passo 3
Determinar a assíntota horizontal. Para
, o termo dominante no denominador é
, então
Assim,
é assíntota horizontal.
Passo 4
Estudar o sinal e o comportamento de
em cada intervalo de domínio:
-
Para
, e portanto . Ao nos aproximarmos de cada assíntota vertical:
, ,
, . -
Para
, e então . Ao nos aproximarmos de dentro desse intervalo, tende a .
Note que
é função par, pois
, de modo que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
Escolher alguns pontos para orientar o esboço:
Com isso, em cada ramo temos:
- No intervalo
, começa em em , passa por e decai para conforme . - No intervalo
, espelho do ramo anterior. - No intervalo
, parte de em , atinge não há mínimo local simples exceto o ponto , e volta a em .
Resposta
O esboço de
mostra três ramos:
- Para
, o gráfico parte de em , sobe até em . - Para
, o gráfico está abaixo de zero, com um ponto em , e vai de em até em . - Para
, o ramo é espelho do de , partindo em em e decaindo para em .
As assíntotas verticais sãoe , e a horizontal é .