Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}.
O conteúdo envolvido é análise de funções racionais: vamos precisar determinar o domínio, assíntotas verticais e horizontais, estudar o sinal de f em cada intervalo e obter alguns pontos-chave para guiar o desenho.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador x^{2}-1 anula-se quando
x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\;x\neq 1\},
e há assíntotas verticais em x=-1 e em x=1.

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal. Para |x|\to\infty, o termo dominante no denominador é x^{2}, então
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}-1}=0.
Assim, y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Estudar o sinal e o comportamento de f em cada intervalo de domínio:
  • Para |x|>1, x^{2}-1>0 e portanto f(x)>0. Ao nos aproximarmos de cada assíntota vertical:
    \lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty, \lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty,
    \lim_{x\to(-1)^{-}}f(x)=+\infty, \lim_{x\to(-1)^{+}}f(x)=-\infty.
  • Para -1<x<1, x^{2}-1<0 e então f(x)<0. Ao nos aproximarmos de x\to\pm1 dentro desse intervalo, f tende a -\infty.
Note que f é função par, pois \;f(-x)=f(x), de modo que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 5

Escolher alguns pontos para orientar o esboço:
f(0)=\frac{1}{0^{2}-1}=-1,\quad f(2)=\frac{1}{2^{2}-1}=\frac{1}{3},\quad f(-2)=\frac{1}{(-2)^{2}-1}=\frac{1}{3}.
Com isso, em cada ramo temos:
  • No intervalo (1,\infty), começa em +\infty em x\to1^{+}, passa por \bigl(2,\tfrac{1}{3}\bigr) e decai para 0^{+} conforme x\to+\infty.
  • No intervalo (-\infty,-1), espelho do ramo anterior.
  • No intervalo (-1,1), parte de -\infty em x\to-1^{+}, atinge (-\,)? não há mínimo local simples exceto o ponto (0,-1), e volta a -\infty em x\to1^{-}.

Resposta

O esboço de f(x)=\tfrac{1}{x^{2}-1} mostra três ramos:
  1. Para x<-1, o gráfico parte de y=0^{+} em -\infty, sobe até +\infty em x\to-1^{-}.
  2. Para -1<x<1, o gráfico está abaixo de zero, com um ponto em (0,-1), e vai de -\infty em x\to-1^{+} até -\infty em x\to1^{-}.
  3. Para x>1, o ramo é espelho do de x<-1, partindo em +\infty em x\to1^{+} e decaindo para 0^{+} em x\to+\infty.
    As assíntotas verticais são x=-1 e x=1, e a horizontal é y=0.

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