Resolva um dos seguintes itens:
  • Resolva a seguinte EDO via anuladores:
  • Dê a solução do seguinte PVI:
\frac{d^{5} y}{d x^{5}}-\frac{d^{4} y}{d x^{4}}=x^{3}+e^{x}+x e^{x}
P V I=\left\{\begin{array}{l} x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}=x^{2} \\\ y(1)=0 ; \frac{d y}{d x}(1)=1 \end{array}\right.
\begin{aligned} & y_{p}^{\prime} \longrightarrow y^{\prime} \\\ & y_{p}^{\prime \prime} \longrightarrow y^{\prime \prime} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o PVI
x \frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = x^2,
com
y(1)=0,\quad \frac{dy}{dx}(1)=1.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem inhomogênea. Vamos usar redução de ordem definindo z = \frac{dy}{dx} para resolver primeiro uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 2

Substituindo z = \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}\,z = x.
É uma equação linear de primeira ordem com
P(x) = -\frac{1}{x},\quad Q(x) = x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x^{-1}.
Multiplicando a equação por \mu(x) vem
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{z}{x}\Bigr) = 1.
Integrando,
\frac{z}{x} = x + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad z = x^2 + C_{1}x.

Passo 4

Como z = y', temos
y' = x^2 + C_{1}x.
Integrando novamente,
y(x) = \int (x^2 + C_{1}x)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{C_{1}x^2}{2} + C_{2}.
Agora aplicamos as condições iniciais. De y'(1)=1:
1 = 1^2 + C_{1}\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=0.
De y(1)=0:
0 = \frac{1^3}{3} + 0 + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -\frac{1}{3}.

Resposta

y(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}.

Exercícios relacionados