Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x+\operatorname{sen} x}{x-3}.

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+\sin x}{x-3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve \sin x, que é limitada entre -1 e 1: -1\le\sin x\le1.
  • O limite é quando x\to+\infty, ou seja, estamos interessados no comportamento da expressão para x muito grande e positivo.
  • Para x suficientemente grande temos x\ne0 e x-3>0, então podemos dividir numerador e denominador por x sem problema para estudar o limite.

Passo 2

Uma observação útil (e que vamos usar): a função \sin x é limitada, portanto a fracção \dfrac{\sin x}{x} tende a zero quando x\to+\infty. Vou justificar isso detalhadamente no próximo passo. Também note que \dfrac{3}{x}\to0 quando x\to+\infty. Essas duas informações são as que vão decidir o limite.

Passo 3

Fatoramos x em numerador e denominador para deixar a forma explícita:
\frac{5x+\sin x}{x-3} =\frac{x\left(5+\dfrac{\sin x}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)} =\frac{5+\dfrac{\sin x}{x}}{1-\dfrac{3}{x}}.
Explicação do passo: dividimos termo a termo por x. Isso é permitido para x\ne0; como estamos tomando x\to+\infty, isso vale para os x grandes que nos interessam. Agora o limite pode ser estudado olhando os limites das parcelas \dfrac{\sin x}{x} e \dfrac{3}{x}.

Passo 4

Vou mostrar que \dfrac{\sin x}{x}\to0 quando x\to+\infty. Usamos que -1\le\sin x\le1. Dividindo por x>0 obtemos, para x>0,
-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}.
Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), como \dfrac{\sin x}{x} fica sempre entre duas funções que tendem a 0, segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0.
Além disso é imediato que
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x}=0.

Passo 5

Agora aplicamos regras básicas de limite (soma, subtração e quociente): como
\lim_{x\to+\infty}\left(5+\frac{\sin x}{x}\right)=5+0=5
e
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)=1-0=1,
e o denominador tende a 1\neq0, o limite do quociente é o quociente dos limites. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{5+\dfrac{\sin x}{x}}{1-\dfrac{3}{x}}=\frac{5}{1}=5.

Passo 6

(verificação alternativa curta) Usando a desigualdade -1\le\sin x\le1 podemos montar limites de aproximação:
\frac{5x-1}{x-3}\le\frac{5x+\sin x}{x-3}\le\frac{5x+1}{x-3}
para x>3. Dividindo por x e tomando x\to+\infty nas duas extremidades dá 5 em ambos os casos, portanto pela regra do confronto a expressão do meio também tende a 5. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

5

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