Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolve
, que é limitada entre e : . - O limite é quando
, ou seja, estamos interessados no comportamento da expressão para muito grande e positivo. - Para
suficientemente grande temos e , então podemos dividir numerador e denominador por sem problema para estudar o limite.
Passo 2
Uma observação útil (e que vamos usar): a função
é limitada, portanto a fracção
tende a zero quando
. Vou justificar isso detalhadamente no próximo passo. Também note que
quando
. Essas duas informações são as que vão decidir o limite.
Passo 3
Fatoramos
em numerador e denominador para deixar a forma explícita:
Explicação do passo: dividimos termo a termo por
. Isso é permitido para
; como estamos tomando
, isso vale para os
grandes que nos interessam. Agora o limite pode ser estudado olhando os limites das parcelas
e
.
Passo 4
Vou mostrar que
quando
. Usamos que
. Dividindo por
obtemos, para
,
Sabemos que
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), como
fica sempre entre duas funções que tendem a
, segue que
Além disso é imediato que
Passo 5
Agora aplicamos regras básicas de limite (soma, subtração e quociente): como
e
e o denominador tende a
, o limite do quociente é o quociente dos limites. Portanto
Passo 6
(verificação alternativa curta) Usando a desigualdade
podemos montar limites de aproximação:
para
. Dividindo por
e tomando
nas duas extremidades dá
em ambos os casos, portanto pela regra do confronto a expressão do meio também tende a
. Isso confirma o resultado anterior.