Seja uma função analítica. Então pode ser escrita em série de Taylor em torno de como
Mostre que a expansão em série de Taylor em torno de x0=0 das funções abaixo são dadas por: cos (x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função cos(x) pode ser escrita como uma série de Taylor em torno de x0 = 0, ou seja:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que é uma forma de representar funções analíticas como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto x0. No nosso caso, x0 = 0. Precisamos calcular as derivadas de cos(x) nesse ponto e ver como elas se encaixam na série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função f(x) em torno de x0 = 0 (que também é chamada de série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Aqui, f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f(x) avaliada em x = 0. No nosso caso, f(x) = cos(x).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de cos(x) e ver o padrão que elas seguem:
Primeira derivada:
f'(x) = -sin(x)
Avaliada em 0:
f'(0) = -sin(0) = 0
Segunda derivada:
f''(x) = -cos(x)
Avaliada em 0:
f''(0) = -cos(0) = -1
Terceira derivada:
f'''(x) = sin(x)
Avaliada em 0:
f'''(0) = sin(0) = 0
Quarta derivada:
f''''(x) = cos(x)
Avaliada em 0:
f''''(0) = cos(0) = 1
E assim por diante. Podemos ver que as derivadas de cos(x) se repetem a cada 4 passos, seguindo o ciclo: cos, -sin, -cos, sin, e de volta para cos.
Passo 4
Observando os valores das derivadas em 0, percebemos que somente as derivadas de ordem par (2, 4, 6, …) têm valores diferentes de zero. As derivadas de ordem ímpar sempre dão zero. Além disso, há um padrão nos sinais:
Para n = 0: f(0) = cos(0) = 1
Para n = 2: f''(0) = -1
Para n = 4: f''''(0) = 1
Para n = 6: f^(6)(0) = -1
E assim por diante.
Podemos generalizar isso dizendo que para a n-ésima derivada de ordem par, o valor será (-1)^n/2.
Passo 5
Agora, vamos montar a série de Taylor usando essas informações. Como somente as derivadas de ordem par são diferentes de zero, podemos reescrever a série somando apenas os termos pares:
cos(x) = sumk=0^infty f^(2k)(0)(2k)! x^2k
Substituindo f^(2k)(0) por (-1)^k (já que f^(2k)(0) = (-1)^k):
cos(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!
Resposta
Assim, mostramos que a expansão em série de Taylor de cos(x) em torno de x0 = 0 é: