Utilizando a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(m) integral 4 t^2-7 t-12t(t+2)(t-3) d t

Passo 1

O exercício aborda o tema de Integração por Frações Parciais e envolve a decomposição do integrando 4t^2-7t-12t(t+2)(t-3). Para resolver, vamos precisar usar decomposição em frações parciais e integração de logaritmos.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), não precisamos fazer divisão de polinômios; podemos partir direto para a técnica de frações parciais.
A ideia é escrever
4t^2-7t-12t(t+2)(t-3) = At + Bt+2 + Ct-3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por t(t+2)(t-3), obtemos
4t^2-7t-12 = A(t+2)(t-3) + B,t(t-3) + C,t(t+2)
Para achar A,B,C, podemos usar valores estratégicos de t. Substituindo t=0 vem -12 = Acdot(0+2)(0-3) = -6A, logo A=2. Com t=-2: 18 = Bcdot(-2)(-5)=10B, então B=tfrac95. Com t=3: 3 = Ccdot3cdot5=15C, logo C=tfrac15.

Passo 4

Assim,
4t^2-7t-12t(t+2)(t-3) = 2t + 9/5t+2 + 1/5t-3

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral 2tdt = 2ln|t|, integral 9/5t+2dt = 95ln|t+2|, integral 1/5t-3dt = 15ln|t-3|

Passo 6

Juntando tudo, a primitiva é
2ln|t| + 95ln|t+2| + 15ln|t-3| + C

Resposta

2\ln|t| + \frac{9}{5}\ln|t+2| + \frac{1}{5}\ln|t-3| + C

Exercícios relacionados