Calcule os limites a seguir caso existam.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{5 x+2}{|x+1|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -1}\frac{5x+2}{|x+1|}.
O conteúdo aqui é limite de função envolvendo valor absoluto. Como o denominador fica zero em x=-1, vamos analisar os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, note que o numerador tende a
5(-1)+2=-3
quando x\to -1. Já o denominador |x+1| pode ser reescrito de forma piecewise:
|x+1| = \begin{cases} -(x+1), & x<-1,\\\ x+1, & x>-1. \end{cases}

Passo 3

Agora computamos os limites laterais.
Para x\to -1^-, temos x+1<0, então |x+1|=-(x+1)\to 0^+. Assim
\lim_{x\to -1^-}\frac{5x+2}{|x+1|} =\lim_{x\to -1^-}\frac{5x+2}{-(x+1)} =\frac{-3}{0^+}=-\infty.
Para x\to -1^+, temos x+1>0, então |x+1|=x+1\to 0^+. Assim
\lim_{x\to -1^+}\frac{5x+2}{|x+1|} =\lim_{x\to -1^+}\frac{5x+2}{x+1} =\frac{-3}{0^+}=-\infty.

Passo 4

Como ambos os limites laterais são iguais a -\infty, concluímos que
\lim_{x\to -1}\frac{5x+2}{|x+1|}=-\infty.

Resposta

-\infty

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