Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de:
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de
e pede a transformada inversa (ou seja, encontrar
tal que
). Informações importantes extraídas do enunciado:
- O denominador tem a forma
. - Podemos identificar um deslocamento em
por (isto é, aparece ). - O termo
é igual a , então é razoável tentar relacionar com funções trigonométricas envolvendo . - O numerador é
, que não coincide imediatamente com (o esperado), então provavelmente precisaremos ajustar por um fator constante.
Passo 2
Vou lembrar as fichas da tábua de transformadas que usamos direto na prova (essas são padrões que você deve decorar ou ter na ponta da língua):
Explicando cada símbolo:
é o parâmetro do deslocamento exponencial (aparece como
),
é a frequência da função seno ou cosseno,
é a variável do domínio de Laplace. Essas fórmulas vêm direto da integral de Laplace ou da tábua de transformadas; na prática, a segunda é útil quando o numerador tem um termo em
e a primeira quando o numerador é exatamente
.
Passo 3
Compare
com a primeira fórmula:
No nosso caso vemos claramente que
(porque aparece
) e
. Então a forma padrão correspondente seria
que é exatamente
. Porém o nosso
tem numerador
, não
. Para resolver isso, usamos a propriedade linear da transformada inversa: constantes podem ser colocadas fora. Escrevemos:
Passo 4
Aplicando a transformada inversa e a linearidade:
Usando a ficha da tábua que diz
, com
e
, obtemos
Logo
Se quiser checar rapidinho na prova: calcule a transformada direta de
e verá que volta para
.
Passo 5
Resumo prático para a prova (dica amiga): sempre verifique se o denominador é
. Se sim, lembre se o numerador está em função de
(cosseno) ou é constante
(seno). Se o numerador for diferente, ajuste com um fator multiplicativo como fizemos aqui. Respira fundo — esse padrão aparece bastante e com prática você decora rapidinho!