Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de:
\frac{2}{(s-2)^{2}+9}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s
F(s)=\frac{2}{(s-2)^{2}+9}
e pede a transformada inversa (ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)). Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O denominador tem a forma (s-2)^{2}+9.
  • Podemos identificar um deslocamento em s por 2 (isto é, aparece s-2).
  • O termo 9 é igual a 3^{2}, então é razoável tentar relacionar com funções trigonométricas envolvendo b=3.
  • O numerador é 2, que não coincide imediatamente com 3 (o b esperado), então provavelmente precisaremos ajustar por um fator constante.

Passo 2

Vou lembrar as fichas da tábua de transformadas que usamos direto na prova (essas são padrões que você deve decorar ou ter na ponta da língua):
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}
Explicando cada símbolo: a é o parâmetro do deslocamento exponencial (aparece como e^{at}), b é a frequência da função seno ou cosseno, s é a variável do domínio de Laplace. Essas fórmulas vêm direto da integral de Laplace ou da tábua de transformadas; na prática, a segunda é útil quando o numerador tem um termo em s-a e a primeira quando o numerador é exatamente b.

Passo 3

Compare F(s) com a primeira fórmula:
\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
No nosso caso vemos claramente que a=2 (porque aparece s-2) e b^{2}=9\Rightarrow b=3. Então a forma padrão correspondente seria
\frac{3}{(s-2)^{2}+3^{2}},
que é exatamente \mathcal{L}\{e^{2t}\sin(3t)\}. Porém o nosso F(s) tem numerador 2, não 3. Para resolver isso, usamos a propriedade linear da transformada inversa: constantes podem ser colocadas fora. Escrevemos:
\frac{2}{(s-2)^{2}+9}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{(s-2)^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa e a linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s-2)^{2}+9}\right\}=\frac{2}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{(s-2)^{2}+3^{2}}\right\}.
Usando a ficha da tábua que diz \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{at}\sin(bt), com a=2 e b=3, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{(s-2)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{2t}\sin(3t).
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\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s-2)^{2}+9}\right\}=\frac{2}{3}\,e^{2t}\sin(3t),\quad t\ge 0.
Se quiser checar rapidinho na prova: calcule a transformada direta de \frac{2}{3}e^{2t}\sin(3t) e verá que volta para \frac{2}{(s-2)^{2}+9}.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dica amiga): sempre verifique se o denominador é (s-a)^{2}+b^{2}. Se sim, lembre se o numerador está em função de s-a (cosseno) ou é constante b (seno). Se o numerador for diferente, ajuste com um fator multiplicativo como fizemos aqui. Respira fundo — esse padrão aparece bastante e com prática você decora rapidinho!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}e^{2t}\sin(3t)

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