Utilizando a técnica de cascas cilíndricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-
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Passo 1
A gente tem uma região no plano limitada por y = x², x = 1 e y = 0, e vai girar isso em torno do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução usando cascas cilíndricas, que integra em x.
Passo 2
Na técnica das cascas cilíndricas, uma casca em abscissa x tem raio igual à distância ao eixo de rotação (o eixo y), ou seja, r = x, e altura igual à diferença entre a curva e a reta inferior, h = y_top – y_bottom = x² – 0 = x². O volume de uma casca infinitesimal é dado por dV = 2π·r·h·dx. Substituindo r e h, temos dV = 2π·x·x²·dx = 2π x³ dx.
Passo 3
Para obter o volume total, integramos de x = 0 até x = 1 (todo o intervalo da região):
Passo 4
Agora é só calcular a integral:
Portanto,