Utilizando a técnica de cascas cilíndricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo- y
y=x^2, x=1, y=0.

Passo 1

A gente tem uma região no plano limitada por y = x², x = 1 e y = 0, e vai girar isso em torno do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução usando cascas cilíndricas, que integra em x.

Passo 2

Na técnica das cascas cilíndricas, uma casca em abscissa x tem raio igual à distância ao eixo de rotação (o eixo y), ou seja, r = x, e altura igual à diferença entre a curva e a reta inferior, h = y_top – y_bottom = x² – 0 = x². O volume de uma casca infinitesimal é dado por dV = 2π·r·h·dx. Substituindo r e h, temos dV = 2π·x·x²·dx = 2π x³ dx.

Passo 3

Para obter o volume total, integramos de x = 0 até x = 1 (todo o intervalo da região):
V = integral0^1 2pi x^3 , dx

Passo 4

Agora é só calcular a integral:
integral0^1 x^3 , dx = x^44 |0^1 = 14
Portanto,
V = 2pi cdot 14 = pi2

Resposta

pi2

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