Utilizando a técnica de cascas cilíndricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo- y
x=2 x-1, y=-2 x+3, x=2.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas retas y=2x-1, y=-2x+3 e x=2. Vamos usar o método de cascas cilíndricas, que exige determinar o raio e a altura de cada casca e depois integrar em x.

Passo 2

Determinamos os limites de integração encontrando a interseção de y=2x-1 e y=-2x+3:
2x-1=-2x+3
4x=4implies x=1Portanto, a região varia de x=1 até x=2.

Passo 3

Para uma casca em posição x, o raio é r(x)=x e a altura é a diferença entre as retas:
h(x)=(2x-1)-(-2x+3)=4(x-1)

Passo 4

A fórmula do volume por cascas é V=integrala^b2pi,r(x),h(x),dx, logo:
V=integral1^22pi xcdot4(x-1),dx=8piintegral1^2x(x-1),dx

Passo 5

Calculamos a integral interna:
integral1^2x(x-1),dx=[x^33-x^22]1^2=56Multiplicando esse resultado por 8pi obtemos o volume do sólido.

Resposta

nabla V=20pi3

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