Utilizando a técnica de integração por partes, calcule as integrais a seguir.
integral e^x sen x d x Resposta : 12 e^x(sen x-cos x)+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral e^xsin x ,dx
utilizando a técnica de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Definimos
I = integral e^xsin x ,dx
e aplicamos integração por partes com
u = sin x, dv = e^x,dx
Então
du = cos x,dx, v = integral e^x,dx = e^x
Pela fórmula,
I = e^xsin x - integral e^xcos x ,dx
Denotamos
J = integral e^xcos x ,dx,
ficando
I = e^xsin x - J

Passo 3

Agora calculamos
J = integral e^xcos x ,dx
também por partes, escolhendo
u = cos x, dv = e^x,dx
Então
du = -sin x,dx, v = e^x,
e
J = e^xcos x - integral e^x(-sin x),dx = e^xcos x + integral e^xsin x ,dx = e^xcos x + I

Passo 4

Substituindo J em I = e^xsin x - J, temos
I = e^xsin x - l(e^xcos x + Ir) = e^xsin x - e^xcos x - I
Reagrupando,
2I = e^xl(sin x - cos xr) Longrightarrow I = 12,e^xl(sin x - cos xr) + C

Resposta

integral e^xsin x ,dx = 12,e^xl(sin x - cos xr) + C

Exercícios relacionados