Calcule as integrais usando a substituição indicada.
integral0^pi / 8 sen^5(2 x) cos (2 x) d x ; u=sen(2 x) Resposta : 196

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral0^pi / 8 sin^5(2x) cos(2x) , dx usando a substituição u = sin(2x). Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição que foi indicada: u = sin(2x). Isso significa que vamos trocar a expressão complicada por uma mais simples para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = ddx sin(2x) , dx = 2 cos(2x) , dx
Portanto, dx = du2 cos(2x).

Passo 4

Mas olha só, na nossa integral original temos um cos(2x) que pode ser substituído. Vamos reescrever a integral usando u e du:
integral sin^5(2x) cos(2x) , dx = integral u^5 cdot du2 cos(2x) cdot cos(2x)
Aqui, o cos(2x) no numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

Simplificando, fica:
12 integral u^5 , du
Agora, a integral está muito mais simples de resolver.

Passo 6

Vamos integrar u^5 em relação a u:
12 cdot u^66 + C = u^612 + C
Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de u.

Passo 7

Lembrando que u = sin(2x), vamos calcular os novos limites:
  • Quando x = 0: u = sin(0) = 0
  • Quando x = pi/8: u = sin(pi/4) = raiz22

Passo 8

Agora, substituímos os limites na expressão integrada:
112 ( ( raiz22 )^6 - 0^6 ) = 112 ( (raiz2)^62^6 ) = 112 ( 864 ) = 112 cdot 18 = 196

Resposta

196

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