Calcule as integrais usando a substituição indicada.
integral 3 xraiz4 x^2+5 d x ; u=4 x^2+5 Resposta : 34 raiz4 x^2+5+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral integral 3xraiz4x^2+5 , dx usando a substituição u = 4x^2 + 5. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à técnica de substituição (ou troca de variável) que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: u = 4x^2 + 5. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para termos du em termos de dx.
A derivada de u é:
dudx = 8x
Isso significa que:
du = 8x , dx

Passo 3

Observamos que na nossa integral original temos 3x , dx, mas do que encontramos acima, temos 8x , dx = du. Para ajustar isso, podemos reescrever 3x , dx em termos de du:
3x , dx = 38 , du

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral 3xraiz4x^2+5 , dx = integral 38 , duraizu
Simplificando:
38 integral u^-12 , du

Passo 5

Integrando u^-12 em relação a u:
integral u^-12 , du = 2u^12 + C
Portanto,
38 times 2u^12 + C = 34 raizu + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
34 raiz4x^2 + 5 + C

Resposta

34 raiz4x^2 + 5 + C

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