Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva e a integral indefinida da função f, onde:
f(x)=\frac{x+\ln (x)}{x}, para x>0

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva e a integral indefinida de
f(x)=\frac{x+\ln(x)}{x},\quad x>0.
O conteúdo aqui é cálculo de antiderivada (primitiva) e integral indefinida, usando técnicas básicas de decomposição algébrica e substituição.

Passo 2

Reescrevemos a função para facilitar a integração:
f(x)=\frac{x}{x}+\frac{\ln(x)}{x}=1+\frac{\ln(x)}{x}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int 1\,dx = x.
  2. Para \displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx, fazemos u=\ln(x), logo du=\frac{1}{x}dx. Assim,
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\ln(x))^2}{2}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva
F(x)=x+\frac{(\ln(x))^2}{2}+C.

Resposta

A primitiva de f e a integral indefinida são
\int f(x)\,dx = x+\frac{(\ln(x))^2}{2}+C.

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