Utilizando a técnica de integração por partes, calcule as integrais a seguir.
\int\left(\frac{x^{2}}{\operatorname{sec} (x)}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\operatorname{sec}(x)}\,dx
usando a técnica de integração por partes. Como 1/\operatorname{sec}(x)=\cos(x), temos de resolver
\int x^{2}\cos(x)\,dx.
A fórmula básica de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos em
\int x^{2}\cos(x)\,dx
as funções
u = x^{2}, \quad dv = \cos(x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Aplicando a fórmula,
\int x^{2}\cos(x)\,dx = x^{2}\sin(x) - \int \sin(x)\, (2x\,dx) = x^{2}\sin(x) - 2\int x\sin(x)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos
\int x\sin(x)\,dx
também por partes, tomando
u = x, \quad dv = \sin(x)\,dx
de onde
du = dx, \quad v = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x).
Então
\int x\sin(x)\,dx = x(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x).

Passo 4

Substituindo de volta em
\int x^{2}\cos(x)\,dx = x^{2}\sin(x) - 2\bigl(-x\cos(x) + \sin(x)\bigr)
obtém-se
\int x^{2}\cos(x)\,dx = x^{2}\sin(x) + 2x\cos(x) - 2\sin(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\operatorname{sec}(x)}\,dx = x^{2}\sin(x) + 2x\cos(x) - 2\sin(x) + C.

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