Utilizando-se das técnicas envolvendo cotangentes e cossecantes, que são análogas as do caso envolvendo secantes e tangentes, calcule
\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \operatorname{cosec}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc^{3}x\,dx
usando técnicas com cotangente e cossecante. Vamos precisar conhecer a primitiva de \csc^{3}x, que pode ser obtida por integração por partes e a identidade \cot^{2}x=\csc^{2}x-1.

Passo 2

Começamos encontrando a primitiva de \csc^{3}x. Escrevemos
\int \csc^{3}x\,dx =\int \csc x\;\csc^{2}x\,dx
e fazemos integração por partes, tomando \displaystyle u=\csc x e \displaystyle dv=\csc^{2}x\,dx.
Então
du=-\csc x\cot x\,dx, \quad v=-\cot x.
Pela fórmula \int u\,dv = u\,v-\int v\,du, resulta
\int \csc^{3}x\,dx =\bigl(-\csc x\cot x\bigr) -\int\bigl(-\cot x\bigr)\bigl(-\csc x\cot x\bigr)\,dx =-\csc x\cot x - \int \csc x\,\cot^{2}x\,dx.
Usando \cot^{2}x=\csc^{2}x-1, obtemos
\int \csc^{3}x\,dx =-\csc x\cot x -\int \csc^{3}x\,dx +\int \csc x\,dx.
Passando \int \csc^{3}x\,dx para o lado esquerdo e lembrando que \displaystyle \int \csc x\,dx = -\ln\bigl|\csc x+\cot x\bigr|+C, dá
2\int \csc^{3}x\,dx =-\csc x\cot x -\ln\bigl|\csc x+\cot x\bigr|+C,
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\int \csc^{3}x\,dx =-\tfrac12\,\csc x\cot x -\tfrac12\ln\bigl|\csc x+\cot x\bigr|+C.

Passo 3

Definimos
F(x) =-\tfrac12\,\csc x\cot x -\tfrac12\ln\bigl(\csc x+\cot x\bigr),
que é uma primitiva de \csc^{3}x. Então
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc^{3}x\,dx =F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Calculamos os valores em cada limite:
  1. Em x=\pi/3:
    \csc(\pi/3)=\tfrac{2}{\sqrt3}, \cot(\pi/3)=\tfrac1{\sqrt3}.
F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt3}\cdot\tfrac1{\sqrt3}\bigr) -\tfrac12\ln\bigl(\tfrac{2}{\sqrt3}+\tfrac1{\sqrt3}\bigr) = -\tfrac13 \;-\;\tfrac12\ln\bigl(\tfrac{3}{\sqrt3}\bigr) = -\tfrac13 -\tfrac14\ln3.
  1. Em x=\pi/6:
    \csc(\pi/6)=2, \cot(\pi/6)=\sqrt3.
F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\tfrac12\,(2\sqrt3) -\tfrac12\ln\bigl(2+\sqrt3\bigr) = -\sqrt3 -\tfrac12\ln\bigl(2+\sqrt3\bigr).

Passo 5

Fazendo a diferença:
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc^{3}x\,dx = \Bigl(-\tfrac13 -\tfrac14\ln3\Bigr) - \Bigl(-\sqrt3 -\tfrac12\ln(2+\sqrt3)\Bigr)
= \sqrt3 -\tfrac13 \;+\;\tfrac12\ln(2+\sqrt3) \;-\;\tfrac14\ln3.

Resposta

\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc^{3}x\,dx = \sqrt3 \;-\;\frac13 \;+\;\frac12\ln\bigl(2+\sqrt3\bigr) \;-\;\frac14\ln3.

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