Utilizando-se das técnicas envolvendo cotangentes e cossecantes, que são análogas as do caso envolvendo secantes e tangentes, calcule \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \operatorname{cosec}^{3} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc^{3}x\,dx
usando técnicas com cotangente e cossecante. Vamos precisar conhecer a primitiva de \csc^{3}x, que pode ser obtida por integração por partes e a identidade \cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
Passo 2
Começamos encontrando a primitiva de \csc^{3}x. Escrevemos
\int \csc^{3}x\,dx =\int \csc x\;\csc^{2}x\,dx
e fazemos integração por partes, tomando \displaystyle u=\csc x e \displaystyle dv=\csc^{2}x\,dx.
Então
du=-\csc x\cot x\,dx, \quad v=-\cot x.
Pela fórmula \int u\,dv = u\,v-\int v\,du, resulta