Utilizando-se das técnicas envolvendo cotangentes e cossecantes, que são análogas as do caso envolvendo secantes e tangentes, calcule \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \operatorname{cotan}^{3} \theta d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot^3\theta\,d\theta. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando identidades que envolvem cotangente e cosecante. Vamos usar a identidade
\cot^2\theta = \csc^2\theta - 1
para reescrever o integrando de forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Reescrevendo a potência maior em função de \csc\theta:
Para \int\csc^2\theta\,\cot\theta\,d\theta, fazemos u=\csc\theta, logo du=-\csc\theta\cot\theta\,d\theta. Note que \csc^2\theta\,\cot\theta\,d\theta = \csc\theta\,(\csc\theta\cot\theta\,d\theta)
= -\csc\theta\,du. Assim