Utilizando as técnicas de integração que aprendemos, resolva as integrais.
integral sin ^2 2 x cos ^2 3 x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^2(2x),cos^2(3x),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas com potências, e vamos usar identidades de redução de potência e produto-para-soma.

Passo 2

Usamos as fórmulas de meia-ângulo:
sin^2(2x)=1-cos(4x)2, cos^2(3x)=1+cos(6x)2

Passo 3

Multiplicamos e expandimos:
sin^2(2x)cos^2(3x) =14l(1-cos4xr)l(1+cos6xr) =1+cos6x-cos4x-cos4xcos6x4
Para o termo cos4xcos6x aplicamos produto-para-soma:
cos4xcos6x =cos(4x+6x)+cos(4x-6x)2 =cos10x+cos(-2x)2 =cos10x+cos2x2

Passo 4

Substituindo e juntando termos obtemos
sin^2(2x)cos^2(3x) =14 +cos6x4 -cos4x4 -cos10x+cos2x8
ou seja
sin^2(2x)cos^2(3x) =14 -18cos2x -14cos4x +14cos6x -18cos10x

Passo 5

Integramos termo a termo, lembrando que
integral cos(kx),dx=1ksin(kx)
Assim,
integral sin^2(2x)cos^2(3x),dx =integrall(tfrac14 -tfrac18cos2x -tfrac14cos4x +tfrac14cos6x -tfrac18cos10xr)dx
=x4 -18cdotsin2x2 -14cdotsin4x4 +14cdotsin6x6 -18cdotsin10x10 + C

Passo 6

Calculando os coeficientes finais:
-18cdot12=-116, -14cdot14=-116, 14cdot16=124, -18cdot110=-180
Portanto a primitiva é

Resposta

integral sin^2(2x)cos^2(3x),dx =x4 -sin2x16 -sin4x16 +sin6x24 -sin10x80 + C

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