Seja nilpotente de ordem 4 , isto é, e .
(a) Mostre que se é um vetor tal que então é uma base do .
(b) Encontre a representação matricial de na base .
(c) Encontre os autovalores de e seus correspondentes autovetores expressos em combinação linear dos vetores de .
(d) Decida se é diagonálizavel ou não.
Passo 1
O enunciado considera um operador linear nilpotente com e . Precisamos:
(a) mostrar que, se satisfaz , então é base de ;
(b) encontrar a matriz de na base ;
(c) determinar os autovalores de e expressar seus autovetores como combinação linear de vetores de ;
(d) decidir se é diagonalizável.
Passo 2
Para (a) mostramos primeiro que é linearmente independente. Suponha
Aplicando obtemos
pois . Então a combinação reduz-se a
Aplicando vem . Em seguida aplicando dá , e por fim sem aplicar dá . Logo todos os coeficientes são zero, e é independente. Como são quatro vetores em , eles formam base.
Passo 3
No item (b) escrevemos sobre os vetores de :
Em coordenadas da base isso corresponde à matriz com uns na subdiagonal imediatamente abaixo da diagonal principal e zeros em todo o resto, i.e.