(1,0) Seja T: R^4 R^4 nilpotente de ordem 4 , isto é, T^4=0 e T^3 neq 0.
(a) Mostre que se v é um vetor tal que T^3 v neq 0 então beta=v, T v, T^2 v, T^3 v é uma base do R^4.
(b) Encontre a representação matricial de T na base beta=v, T v, T^2 v, T^3 v.
(c) Encontre os autovalores de T e seus correspondentes autovetores expressos em combinação linear dos vetores de beta.
(d) Decida se T é diagonálizavel ou não.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear nilpotente T:R^4toR^4 com ,T^4=0 e ,T^3neq0. Precisamos:
(a) mostrar que, se v satisfaz T^3vneq0, então beta=v,,T v,,T^2v,,T^3v é base de R^4;
(b) encontrar a matriz de T na base beta;
(c) determinar os autovalores de T e expressar seus autovetores como combinação linear de vetores de beta;
(d) decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Para (a) mostramos primeiro que beta é linearmente independente. Suponha
a0,v + a1,T v + a2,T^2v + a3,T^3v = 0
Aplicando T^3 obtemos
a0,T^3v = 0 Longrightarrow a0 = 0
pois T^3vneq0. Então a combinação reduz-se a
a1,T v + a2,T^2v + a3,T^3v = 0
Aplicando T^2 vem a1,T^3v=0Rightarrow a1=0. Em seguida aplicando T a2,T^3v=0Rightarrow a2=0, e por fim sem aplicar dá a3,T^3v=0Rightarrow a3=0. Logo todos os coeficientes são zero, e beta é independente. Como são quatro vetores em R^4, eles formam base.

Passo 3

No item (b) escrevemos T sobre os vetores de beta:
T(v)=T v, T(Tv)=T^2v, T(T^2v)=T^3v, T(T^3v)=T^4v=0
Em coordenadas da base beta isso corresponde à matriz com uns na subdiagonal imediatamente abaixo da diagonal principal e zeros em todo o resto, i.e.
[Mbeta(T)] = 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 4

Para (c) note que a caracterísica de T é
chiT(lambda)=det(,Mbeta(T)-lambda I,)=(-lambda)^4=lambda^4,
então o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 4. Os autovetores satisfazem T(x)=0, i.e.\ xinker T. Da matriz vemos que
ker T=span,T^3v,
pois apenas T^3v é levado a zero. Em coordenadas de beta, todo autovetor é (0,0,0,c), cneq0, correspondente a c,T^3v.

Passo 5

Para (d) a multiplicidade geométrica de lambda=0 é dimker T=1, inferior a 4. Logo T não é diagonalizável.

Resposta

(a) beta=v,Tv,T^2v,T^3v é base porque os vetores são linearmente independentes e são quatro em R^4.
(b) Na base beta,
[Mbeta(T)] = 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0
(c) O único autovalor é lambda=0. Os autovetores são todos múltiplos de T^3v, i.e.\ em coordenadas beta são (0,0,0,c), cneq0.
(d) T não é diagonalizável, pois a dimensão do espaço próprio de lambda=0 é 1, menor que 4.

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