Utilizando técnicas de integração, determine:
integral e^2 t cos t d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral e^2tcos t,dt
O conteúdo é cálculo de primitiva usando integração por partes duas vezes e resolução de uma equação para a própria integral.

Passo 2

Definimos
I = integral e^2tcos t,dt
Aplicando integração por partes com ,u=e^2t e ,dv=cos t,dt, temos
du = 2e^2t,dt, v = sin t,
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I = e^2tsin t - 2integral e^2tsin t,dt
Para simplificar, defina
J = integral e^2tsin t,dt,
ficando
I = e^2tsin t - 2J

Passo 3

Agora calcule J por partes com ,u=e^2t e ,dv=sin t,dt:
du=2e^2t,dt, v=-cos t,
então
J = -e^2tcos t + 2integral e^2tcos t,dt = -e^2tcos t + 2I

Passo 4

Substitua J na expressão de I:
I = e^2tsin t - 2l(-e^2tcos t + 2Ir) = e^2tsin t + 2e^2tcos t - 4I
Reagrupando,
5I = e^2tl(sin t + 2cos tr) Longrightarrow I = e^2tl(sin t + 2cos tr)5 + C

Resposta

integral e^2tcos t,dt = e^2tl(sin t + 2cos tr)5 + C

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