Exercício 18. Seja f: U R uma função de classe C^k definida em um aberto convexo U subseteq R^n. Mostre que a função resto definida pela identidade
f(x)=f(a)+f^prime(a) cdot(x-a)+cdots+1k! f^(k)(a) cdot(x-a)^k+r(x-a),
satisfaz
lim x a r(x-a)|x-a|^k=0
Esta é uma versão da Fórmula de Taylor diferente da que vimos em aula, cujo resto não é explícito, mas que não necessita ser f in C^k+1.

Passo 1

O enunciado considera uma função !f:UsubseteqR^ntoR de classe C^k em um aberto convexo U, e escreve
f(x)=sumj=0^k1j!,f^(j)(a)cdot(x-a)^j+r(x-a),
onde r(h) é o resto. Queremos mostrar que
limxto ar(x-a)lvert x-arvert^k=0
O conteúdo usado será a redução a um problema unidimensional ao longo do segmento de reta de a a x e a fórmula de Taylor em uma variável com forma integral do resto.

Passo 2

Defina h=x-a. Se h=0 o resultado é trivial, pois r(0)=0. Para hneq0 e suficientemente pequeno, o segmento a+th:0<= t<=1 está contido em U por convexidade, e podemos considerar a aplicação unidimensional
varphi(t)=f(a+th), tin[0,1].
Como fin C^k em U, segue varphiin C^k([0,1]).

Passo 3

Aplicando a fórmula de Taylor de ordem k-1 para varphi com forma integral do resto, obtemos
varphi(1) =sumj=0^k-1varphi^(j)(0)j! +1(k-1)!integral0^1(1-s)^,k-1,varphi^(k)(s),ds

Passo 4

Note que, por derivação sucessiva ao longo da reta,
varphi^(j)(0) =D^j f(a)l[h,dots,hr] =f^(j)(a)cdot h^j
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sumj=0^k-1varphi^(j)(0)j! =sumj=0^k-11j!,f^(j)(a)cdot h^j

Passo 5

Dividindo o integrando em parte fixa e parte variável:
integral0^1(1-s)^k-1varphi^(k)(s),ds =varphi^(k)(0)integral0^1(1-s)^k-1ds +integral0^1(1-s)^k-1l[varphi^(k)(s)-varphi^(k)(0)r]ds
Como integral0^1(1-s)^k-1ds=1/k, a primeira parcela gera
varphi^(k)(0)/(k!), e assim
varphi(1) =sumj=0^k1j!,f^(j)(a)cdot h^j ;+;underbrace1(k-1)!integral0^1(1-s)^k-1 l[varphi^(k)(s)-varphi^(k)(0)r]dsr(h)

Passo 6

Observe que
varphi^(k)(s)-varphi^(k)(0) =l[D^k f(a+sh)-D^k f(a)r][h,dots,h],
e pela continuidade de D^k f em a temos para dado varepsilon>0 e h pequeno
llVert D^k f(a+sh)-D^k f(a)rrVert<=varepsilon forall sin[0,1]
Então, usando que integral0^1(1-s)^k-1ds=1/k e que o operador multilinear é limitado,
lvert r(h)rvert <=1(k-1)!,varepsilon,lvert hrvert^kintegral0^1(1-s)^k-1ds =varepsilonk!,lvert hrvert^k
Daí
lvert r(h)rvert/lvert hrvert^k<=varepsilon/k!, e por arbitrariedade de varepsilon segue
limhto0r(h)lvert hrvert^k=0

Resposta

boxedlimxto ar(x-a)lvert x-arvert^k=0

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