Exercício 18. Seja uma função de classe definida em um aberto convexo . Mostre que a função resto definida pela identidade
satisfaz
Esta é uma versão da Fórmula de Taylor diferente da que vimos em aula, cujo resto não é explícito, mas que não necessita ser .
Passo 1
O enunciado considera uma função de classe em um aberto convexo , e escreve
onde é o resto. Queremos mostrar que
O conteúdo usado será a redução a um problema unidimensional ao longo do segmento de reta de a e a fórmula de Taylor em uma variável com forma integral do resto.
Passo 2
Defina . Se o resultado é trivial, pois . Para e suficientemente pequeno, o segmento está contido em por convexidade, e podemos considerar a aplicação unidimensional , .
Como em , segue .
Passo 3
Aplicando a fórmula de Taylor de ordem para com forma integral do resto, obtemos
Passo 4
Note que, por derivação sucessiva ao longo da reta,
Logo
Passo 5
Dividindo o integrando em parte fixa e parte variável: