Mostre que:
(0,3) se (xn) é uma sequência de números reais com L=lim n +infty xn, então dado c<L, o conjunto n in N^* ; xn <= c é finito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se l(xnr) é uma sequência de reais com
L ;=;limnto+inftyxn
e dado um real c<L, então o conjunto
A ;=;,ninN^*mid xn<= c
é finito. O conteúdo usado será a definição de convergência de sequência real.

Passo 2

Como c<L, definimos
varepsilon ;=;L-c ;>;0
Pela definição de limntoinftyxn=L, existe NinN^* tal que, para todo n>= N,
|xn - L| < varepsilon

Passo 3

Da desigualdade |xn-L|<varepsilon obtemos, para n>= N,
xn > L - varepsilon = L - (L-c) = c
Ou seja, nenhum índice n>= N pode satisfazer xn <= c.

Passo 4

Logo, os índices que verificam xn<= c estão todos contidos no conjunto finito 1,2,dots,N-1. Portanto
A ;subseteq;1,2,dots,N-1,
o que mostra que A é finito.

Resposta

O conjunto ,ninN^*mid xn<= c é finito.

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