Considere a função
.
(a) Encontre o domínio de
;
(b) Calcule as intersecções com os eixos, ou seja, quando
e
;
(c) Encontre os pontos críticos de
;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(sinal de
);
(e) Encontre os máximos e mínimos locais de
;
(f) Determine a concavidade e os pontos de inflexão de
sinal de
;
(g) Usando as informaçōes obtidas nos itens anteriores esboçe o gráfico.
(a) Encontre o domínio de
(b) Calcule as intersecções com os eixos, ou seja, quando
(c) Encontre os pontos críticos de
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(e) Encontre os máximos e mínimos locais de
(f) Determine a concavidade e os pontos de inflexão de
(g) Usando as informaçōes obtidas nos itens anteriores esboçe o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) domínio;
b) intersecções com os eixos;
c) pontos críticos via ;
d) intervalos de crescimento/decrescimento pelo sinal de ;
e) máximos e mínimos locais;
f) concavidade e pontos de inflexão via ;
g) esboço do gráfico.
Como é um polinômio cúbico, o domínio é todo
e faremos análise de derivadas e sinal para obter o que se pede.
a) domínio;
b) intersecções com os eixos;
c) pontos críticos via
d) intervalos de crescimento/decrescimento pelo sinal de
e) máximos e mínimos locais;
f) concavidade e pontos de inflexão via
g) esboço do gráfico.
Como
Passo 2
Como
é polinomial, seu domínio é
Passo 3
Intersecções com os eixos:
Para o eixo (zerar
):
Para o eixo
dá
(raiz dupla) e
. Assim os pontos são
e
.
Para o eixo (
):
Para o eixo
ou seja, o ponto é
(já considerado acima).
Passo 4
Derivada primeira e pontos críticos:
Igualando a zero, vêm os críticos
Passo 5
Sinal de
:
Para :
e
;
.
Para :
e
;
.
Para :
e
;
.
Logo
Para
Para
Para
Logo
Passo 6
Classificação dos extremos:
Em ,
troca de negativo para positivo
mínimo local em
.
Em ,
troca de positivo para negativo
máximo local em
.
Como
Em
Em
Como
o máximo local é em
.
Passo 7
Derivada segunda e inflexão:
Temos
em
.
Para :
;
concavidade para cima.
Para :
;
concavidade para baixo.
O ponto de inflexão é com
Para
Para
O ponto de inflexão é
ou seja,
.
Passo 8
Esboço qualitativo do gráfico:
- Zeros em
(raiz dupla, toca o eixo) e . - Mínimo em
, máximo em . - Inflexão em
, concavidade para cima até e para baixo depois. - Decresce até
, cresce até , decresce depois de .
Resposta
a) Domínio:
.
b) Intersecções: com o eixo em
e
; com o eixo
em
.
c) Pontos críticos: e
.
d) Crescimento/decrescimento:
b) Intersecções: com o eixo
c) Pontos críticos:
d) Crescimento/decrescimento:
e) Extremos locais: mínimo em
, máximo em
.
f) Concavidade e inflexão: concava para cima em , para baixo em
; ponto de inflexão em
.
g) Gráfico: cúbica com toque no eixo em , sobe até máximo em
, depois cai, mudando de concavidade em
e zerando novamente em
.
f) Concavidade e inflexão: concava para cima em
g) Gráfico: cúbica com toque no eixo em