Considere a função f(x)=-x^{3}+3 x^{2}.
(a) Encontre o domínio de f;
(b) Calcule as intersecções com os eixos, ou seja, quando f=0 e f(x)=0;
(c) Encontre os pontos críticos de f\left(f^{\prime}(x)=0\right);
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f (sinal de f^{\prime} );
(e) Encontre os máximos e mínimos locais de f;
(f) Determine a concavidade e os pontos de inflexão de f\left(\right. sinal de \left.f^{\prime \prime}\right);
(g) Usando as informaçōes obtidas nos itens anteriores esboçe o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^{3} + 3x^{2}
e pede:
a) domínio;
b) intersecções com os eixos;
c) pontos críticos via f'(x)=0;
d) intervalos de crescimento/decrescimento pelo sinal de f';
e) máximos e mínimos locais;
f) concavidade e pontos de inflexão via f'';
g) esboço do gráfico.
Como f é um polinômio cúbico, o domínio é todo \mathbb{R} e faremos análise de derivadas e sinal para obter o que se pede.

Passo 2

Como f é polinomial, seu domínio é
\mathbb{R}.

Passo 3

Intersecções com os eixos:
Para o eixo x (zerar f):
f(x)=0\implies -x^{3}+3x^{2}=x^{2}(-x+3)=0
x=0 (raiz dupla) e x=3. Assim os pontos são (0,0) e (3,0).
Para o eixo y ( x=0):
f(0)=0,
ou seja, o ponto é (0,0) (já considerado acima).

Passo 4

Derivada primeira e pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+3x^{2}\bigr)=-3x^{2}+6x=-3x(x-2).
Igualando a zero, vêm os críticos
x=0,\quad x=2.

Passo 5

Sinal de f'(x)=-3x(x-2):
Para x<0: -3x>0 e (x-2)<0; \implies f'<0.
Para 0<x<2: -3x<0 e (x-2)<0; \implies f'>0.
Para x>2: -3x<0 e (x-2)>0; \implies f'<0.
Logo
f\text{ decresce em }(-\infty,0),\quad f\text{ cresce em }(0,2),\quad f\text{ decresce em }(2,\infty).

Passo 6

Classificação dos extremos:
Em x=0, f' troca de negativo para positivo \implies mínimo local em (0,0).
Em x=2, f' troca de positivo para negativo \implies máximo local em \bigl(2,f(2)\bigr).
Como
f(2) = -8 + 12 = 4,
o máximo local é em (2,4).

Passo 7

Derivada segunda e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+6x\bigr)=-6x+6=6(1-x).
Temos f''(x)=0 em x=1.
Para x<1: f''>0; \implies concavidade para cima.
Para x>1: f''<0; \implies concavidade para baixo.
O ponto de inflexão é \bigl(1,f(1)\bigr) com
f(1)=-1+3=2,
ou seja, (1,2).

Passo 8

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Zeros em 0 (raiz dupla, toca o eixo) e 3.
  • Mínimo em (0,0), máximo em (2,4).
  • Inflexão em (1,2), concavidade para cima até x=1 e para baixo depois.
  • Decresce até 0, cresce até 2, decresce depois de 2.

Resposta

a) Domínio: \mathbb{R}.
b) Intersecções: com o eixo x em (0,0) e (3,0); com o eixo y em (0,0).
c) Pontos críticos: x=0 e x=2.
d) Crescimento/decrescimento:
f\text{ decresce em }(-\infty,0),\quad f\text{ cresce em }(0,2),\quad f\text{ decresce em }(2,\infty).
e) Extremos locais: mínimo em (0,0), máximo em (2,4).
f) Concavidade e inflexão: concava para cima em (-\infty,1), para baixo em (1,\infty); ponto de inflexão em (1,2).
g) Gráfico: cúbica com toque no eixo em 0, sobe até máximo em (2,4), depois cai, mudando de concavidade em (1,2) e zerando novamente em (3,0).

Exercícios relacionados