Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{6 x-11}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{6x - 11}{(x-1)^2}\,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos usar a técnica de decomposição do numerador em termos de (x-1) para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o numerador 6x - 11 em função de u = x - 1. Note que
6x - 11 = 6\bigl((x-1)+1\bigr) - 11 = 6(x-1) + 6 - 11 = 6(x-1) - 5.
Logo,
\frac{6x - 11}{(x-1)^2} = \frac{6(x-1) - 5}{(x-1)^2} = \frac{6(x-1)}{(x-1)^2} \;-\;\frac{5}{(x-1)^2} = \frac{6}{x-1} \;-\;\frac{5}{(x-1)^2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{6}{x-1}\,dx \;=\; 6\int \frac{1}{x-1}\,dx \;=\; 6\ln\bigl|x-1\bigr|
e
\int \Bigl(-\frac{5}{(x-1)^2}\Bigr)\,dx = -5\int (x-1)^{-2}\,dx = -5\cdot\bigl(-(x-1)^{-1}\bigr) = \frac{5}{x-1}.

Resposta

\int \frac{6x - 11}{(x-1)^2}\,dx = 6\ln\bigl|x-1\bigr| \;+\;\frac{5}{x-1} + C.

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