Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{\ln (2 x)}{x \ln (4 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(2x)}{x\,\ln(4x)}\,dx
O conteúdo principal é usar técnicas de álgebra para simplificar o integrando e, em seguida, aplicar a substituição u-sub (ou t-sub).

Passo 2

Escrevemos \ln(2x)=\ln x+\ln2 e \ln(4x)=\ln x+\ln4=\ln x+2\ln2.
Logo o integrando fica
\frac{\ln(2x)}{x\,\ln(4x)} =\frac{\ln x+\ln2}{x\bigl(\ln x+2\ln2\bigr)}.

Passo 3

Fazemos a substituição
t=\ln x+2\ln2, \quad dt=\frac{1}{x}\,dx.
Nesse caso \ln x=\;t-2\ln2, então
\frac{\ln x+\ln2}{x\bigl(\ln x+2\ln2\bigr)}\,dx =\frac{(t-2\ln2)+\ln2}{t}\;dt =\frac{t-\ln2}{t}\;dt.

Passo 4

Integramos em t:
\int\frac{t-\ln2}{t}\,dt =\int\!1\,dt-\ln2\int\frac{1}{t}\,dt =t-\ln2\;\ln|t|+C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos t=\ln(4x). Portanto a primitiva é
t-\ln2\;\ln|t|+C =\ln(4x)-\ln2\;\ln\bigl(\ln(4x)\bigr)+C.

Resposta

\boxed{\int \frac{\ln(2x)}{x\,\ln(4x)}\,dx =\ln(4x)\;-\;\ln2\;\ln\bigl(\ln(4x)\bigr)+C.}

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