Utilizando o Teo. Fund. do Cálculo, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} \operatorname{Cos}\left(t^{2}+1\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \displaystyle g(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} \Cos\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a regra de derivação de integrais com limites que dependem de x. Vamos usar a forma de Leibniz: se \displaystyle g(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então \displaystyle g'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 2

Definimos \displaystyle a(x)=-\sqrt{x}, \displaystyle b(x)=\sqrt{x}
e \displaystyle f(t)=\Cos\bigl(t^{2}+1\bigr).
Logo podemos escrever \displaystyle g(x)=F\bigl(b(x)\bigr)-F\bigl(a(x)\bigr),
onde F é uma primitiva de f, ou seja, F'(t)=f(t).

Passo 3

Pela regra de Leibniz,
g'(x) =f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 4

Calculamos as derivadas dos limites:
b(x)=\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad b'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
a(x)=-\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad a'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora avaliamos f em b(x) e em a(x). Note que \bigl(\pm\sqrt{x}\bigr)^{2}=x,
então
f\bigl(b(x)\bigr) =\Cos\bigl((\sqrt{x})^{2}+1\bigr) =\Cos\bigl(x+1\bigr),
f\bigl(a(x)\bigr) =\Cos\bigl((-\sqrt{x})^{2}+1\bigr) =\Cos\bigl(x+1\bigr).

Passo 6

Substituindo em \displaystyle g'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x),
temos
g'(x) =\Cos(x+1)\,\frac{1}{2\sqrt{x}} \;-\; \Cos(x+1)\,\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr) =\Cos(x+1)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}+\Cos(x+1)\,\frac{1}{2\sqrt{x}} =\Cos(x+1)\,\frac{1}{\sqrt{x}}.

Resposta

g'(x)=\frac{\Cos\bigl(x+1\bigr)}{\sqrt{x}}.

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