Utilizando o Teo. Fund. do Cálculo, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{x}^{e^{x^{2}}}\left(4 t^{2}-t+2\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá
g(x)=\int_{x}^{e^{x^{2}}}\bigl(4t^{2}-t+2\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para integral com limites dependentes de x, combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo estendido diz que se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

Aqui temos
f(t)=4t^{2}-t+2,\quad a(x)=x,\quad b(x)=e^{x^{2}}.
Logo
a'(x)=1,\qquad b'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=2x\,e^{x^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula,
g'(x) =f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x) =\bigl(4(e^{x^{2}})^{2}-e^{x^{2}}+2\bigr)\,(2x\,e^{x^{2}})\;-\;(4x^{2}-x+2).

Passo 5

Podemos escrever de forma mais explícita:
g'(x) =2x\,e^{x^{2}}\bigl(4e^{2x^{2}}-e^{x^{2}}+2\bigr)\;-\;(4x^{2}-x+2)
ou, expandindo termos,
g'(x)=8x\,e^{3x^{2}}-2x\,e^{2x^{2}}+4x\,e^{x^{2}}-4x^{2}+x-2.

Resposta

g'(x)=2x\,e^{x^{2}}\bigl(4e^{2x^{2}}-e^{x^{2}}+2\bigr)\;-\;(4x^{2}-x+2).

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