Utilizando o Teo. Fund. do Cálculo, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\ln (x)}\left(t^{2}+16\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\ln(x)}\bigl(t^{2}+16\bigr)\,dt
Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo na forma de derivada de uma integral com limites que dependem de x.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, diz que se
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt
então
G'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)\;-\;f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui temos f(t)=t^{2}+16, u(x)=\sqrt{x} e v(x)=\ln(x).

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula: v'(x)=\bigl(\ln(x)\bigr)'=1/x, u'(x)=\bigl(\sqrt{x}\bigr)'=1/(2\sqrt{x}).
Também f\bigl(v(x)\bigr)=(\ln(x))^{2}+16 e f\bigl(u(x)\bigr)=(\sqrt{x})^{2}+16=x+16.
Portanto,
g'(x) =\bigl[(\ln(x))^{2}+16\bigr]\frac{1}{x} \;-\;(x+16)\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

g'(x) =\frac{(\ln(x))^{2}+16}{x} \;-\;\frac{x+16}{2\sqrt{x}}.

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