Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o limite
usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é muito útil quando temos uma função complicada que está “presa” entre duas funções mais simples. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar as funções que limitam a nossa função principal.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte mais complicada da função:
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja,
Isso nos dá uma ideia de como “confinar” a nossa função principal.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Mas atenção! Como estamos considerando
,
é negativo, e ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, invertemos os sinais das desigualdades:
Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos analisar os limites das duas funções que confinam nossa função principal:
Ambos os limites são iguais a 0.
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite. Portanto, temos:
Resposta
O limite
é igual a 0.