Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
lim x 0^- x^3 cos (2x)

Passo 1

Vamos resolver o limite usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é muito útil quando temos uma função complicada que está “presa” entre duas funções mais simples. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar as funções que limitam a nossa função principal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte mais complicada da função: -1 <= cos(2x) <= 1 . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja,
Isso nos dá uma ideia de como “confinar” a nossa função principal.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por x^3 cdot -1 >= x^3 cos(2x) >= x^3 cdot 1 . Mas atenção! Como estamos considerando -,x^3 >= x^3 cos(2x) >= x^3 , é negativo, e ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, invertemos os sinais das desigualdades:
Ou seja,

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites das duas funções que confinam nossa função principal:
limx 0^- (-x^3) = 0 e limx 0^- x^3 = 0
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite. Portanto, temos:
lim x 0^- x^3 cos (2x) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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