Encontre, se possível, as assíntotas horizontais e/ou verticais da curva y = (x^2 + x - 2) / (x^2 + 4x + 4).

Passo 1

Está pedindo pra gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva dada pela função . Isso envolve entender o que são assíntotas: linhas que a curva se aproxima mas nunca toca. Vamos precisar usar conceitos de limite e fatoração de polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida. Então, vamos igualar o denominador a zero:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , podemos fatorar:
Isso nos dá uma solução dupla:
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas se relacionam com o comportamento da função quando vai para ou . Para funções racionais, com polinômios de mesmo grau no numerador e denominador, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
No nosso caso, os coeficientes de no numerador e denominador são ambos 1. Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

A curva possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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