Calcule as constantes de modo que:
lim x 3 x^2-a x+bx-3=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores das constantes lim x 3 x^2 - a x + bx - 3 = 5 e de forma que o limite:
seja igual a 5. Vamos usar conceitos de limites e álgebra para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece nesse limite quando substituímos x - 3 = 3 - 3 = 0 diretamente na expressão. Se fizermos isso, o denominador fica zero:
x^2 - a x + b = 9 - 3a + b
E o numerador:
Então, temos uma indeterminação do tipo , o que significa que o numerador também deve ser zero quando . Isso é essencial para que o limite exista e seja finito.

Passo 3

Para garantir que o numerador seja zero quando 3^2 - a cdot 3 + b = 0 9 - 3a + b = 0 , vamos substituir na equação do numerador e igualar a zero:
Essa é a primeira equação que vamos usar para encontrar e .

Passo 4

Além disso, para que o limite seja igual a 5, precisamos que a expressão x^2 - a x + b = (x - 3)(x - k) se simplifique de forma que, ao aproximar x^2 - (k + 3)x + 3k de 3, o resultado seja 5. Isso significa que o numerador deve ser divisível por -a = -(k + 3) Rightarrow a = k + 3 b = 3k , e o quociente dessa divisão deve ser igual a 5 quando .
Vamos expressar como , onde é uma constante. Assim:
Expandindo o lado direito:
Comparando com o numerador original , temos:

Passo 5

Sabemos que o limite é 5, então o quociente das expressões simplificadas deve ser igual a 5 quando lim x 3 (x - k) = 5 3 - k = 5 k = 3 - 5 k = -2 . O quociente é . Portanto:

Passo 6

Agora que encontramos a = k + 3 = -2 + 3 = 1 b = 3k = 3 cdot (-2) = -6 , podemos encontrar e usando as relações que estabelecemos anteriormente:

Resposta

As constantes são e .

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