Calcule as constantes de modo que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores das constantes
e
de forma que o limite:
seja igual a 5. Vamos usar conceitos de limites e álgebra para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece nesse limite quando substituímos
diretamente na expressão. Se fizermos isso, o denominador fica zero:
E o numerador:
Então, temos uma indeterminação do tipo
, o que significa que o numerador também deve ser zero quando
. Isso é essencial para que o limite exista e seja finito.
Passo 3
Para garantir que o numerador seja zero quando
, vamos substituir
na equação do numerador e igualar a zero:
Essa é a primeira equação que vamos usar para encontrar
e
.
Passo 4
Além disso, para que o limite seja igual a 5, precisamos que a expressão
se simplifique de forma que, ao aproximar
de 3, o resultado seja 5. Isso significa que o numerador deve ser divisível por
, e o quociente dessa divisão deve ser igual a 5 quando
.
Vamos expressar
como
, onde
é uma constante. Assim:
Expandindo o lado direito:
Comparando com o numerador original
, temos:
Passo 5
Sabemos que o limite é 5, então o quociente das expressões simplificadas deve ser igual a 5 quando
. O quociente é
. Portanto:
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos encontrar
e
usando as relações que estabelecemos anteriormente:
Resposta
As constantes são
e
.