Utilizando o teorema de Green, calcule a área da região cuja fronteira é o paralelogramo com vértices em
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a área de um paralelogramo formado pelos pontos $ A(3,2) $, $ B(6,2) $, $ C(7,4) $ e $ D(4,4) $ usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a área que ele delimita. Para resolver, vamos precisar identificar as coordenadas dos vértices, definir o caminho que percorre os lados do paralelogramo e aplicar o Teorema de Green para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do paralelogramo no plano cartesiano:
- $ A(3,2) $
- $ B(6,2) $
- $ C(7,4) $
- $ D(4,4) $
Esses pontos formam os lados do paralelogramo, e vamos percorrer cada lado na ordem $ A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A $ para aplicar o Teorema de Green.
Passo 3
O Teorema de Green nos permite calcular a área $ A $ da região fechada pela seguinte fórmula:
Aqui, $ C $ é o contorno do paralelogramo. Vamos calcular essa integral percorrendo cada lado do paralelo.
Passo 4
Vamos dividir o contorno $ C $ em quatro segmentos:
- Segmento AB: de $ A(3,2) $ a $ B(6,2) $
- Segmento BC: de $ B(6,2) $ a $ C(7,4) $
- Segmento CD: de $ C(7,4) $ a $ D(4,4) $
- Segmento DA: de $ D(4,4) $ a $ A(3,2) $
Para cada segmento, vamos parametrizar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ t $ variando de 0 a 1.
Passo 5
Segmento AB:
- $ x(t) = 3 + 3t $ (de 3 a 6)
- $ y(t) = 2 $ (constante)
Derivadas:
- $ dx = 3 , dt $
- $ dy = 0 $
Portanto, a contribuição para a integral:
Passo 6
Segmento BC:
- $ x(t) = 6 + t $ (de 6 a 7)
- $ y(t) = 2 + 2t $ (de 2 a 4)
Derivadas:
- $ dx = 1 , dt $
- $ dy = 2 , dt $
Contribuição para a integral:
Passo 7
Segmento CD:
- $ x(t) = 7 - 3t $ (de 7 a 4)
- $ y(t) = 4 $ (constante)
Derivadas:
- $ dx = -3 , dt $
- $ dy = 0 $
Contribuição para a integral:
Passo 8
Segmento DA:
- $ x(t) = 4 - t $ (de 4 a 3)
- $ y(t) = 4 - 2t $ (de 4 a 2)
Derivadas:
- $ dx = -1 , dt $
- $ dy = -2 , dt $
Contribuição para a integral:
Passo 9
Agora, somamos as contribuições de todos os segmentos:
Aplicando a fórmula do Teorema de Green:
Resposta
A área da região é $ 6 $ unidades quadradas.