Utilizando o teorema de Green, calcule a área da região cuja fronteira é o paralelogramo com vértices em A(3,2), B(6,2), C(7,4) e D(4,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a área de um paralelogramo formado pelos pontos $ A(3,2) $, $ B(6,2) $, $ C(7,4) $ e $ D(4,4) $ usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a área que ele delimita. Para resolver, vamos precisar identificar as coordenadas dos vértices, definir o caminho que percorre os lados do paralelogramo e aplicar o Teorema de Green para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do paralelogramo no plano cartesiano:
  • $ A(3,2) $
  • $ B(6,2) $
  • $ C(7,4) $
  • $ D(4,4) $
Esses pontos formam os lados do paralelogramo, e vamos percorrer cada lado na ordem $ A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A $ para aplicar o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green nos permite calcular a área $ A $ da região fechada pela seguinte fórmula:
A
Aqui, $ C $ é o contorno do paralelogramo. Vamos calcular essa integral percorrendo cada lado do paralelo.

Passo 4

Vamos dividir o contorno $ C $ em quatro segmentos:
  1. Segmento AB: de $ A(3,2) $ a $ B(6,2) $
  2. Segmento BC: de $ B(6,2) $ a $ C(7,4) $
  3. Segmento CD: de $ C(7,4) $ a $ D(4,4) $
  4. Segmento DA: de $ D(4,4) $ a $ A(3,2) $
Para cada segmento, vamos parametrizar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ t $ variando de 0 a 1.

Passo 5

Segmento AB:
  • $ x(t) = 3 + 3t $ (de 3 a 6)
  • $ y(t) = 2 $ (constante)
Derivadas:
  • $ dx = 3 , dt $
  • $ dy = 0 $
Portanto, a contribuição para a integral:
x(t) = 3 + 3t

Passo 6

Segmento BC:
  • $ x(t) = 6 + t $ (de 6 a 7)
  • $ y(t) = 2 + 2t $ (de 2 a 4)
Derivadas:
  • $ dx = 1 , dt $
  • $ dy = 2 , dt $
Contribuição para a integral:
x(t) = 6 + t

Passo 7

Segmento CD:
  • $ x(t) = 7 - 3t $ (de 7 a 4)
  • $ y(t) = 4 $ (constante)
Derivadas:
  • $ dx = -3 , dt $
  • $ dy = 0 $
Contribuição para a integral:
x(t) = 7 - 3t

Passo 8

Segmento DA:
  • $ x(t) = 4 - t $ (de 4 a 3)
  • $ y(t) = 4 - 2t $ (de 4 a 2)
Derivadas:
  • $ dx = -1 , dt $
  • $ dy = -2 , dt $
Contribuição para a integral:
x(t) = 4 - t

Passo 9

Agora, somamos as contribuições de todos os segmentos:
Total = -6 + 10 + 12 - 4 = 12
Aplicando a fórmula do Teorema de Green:
A = 12 times 12 = 6

Resposta

A área da região é $ 6 $ unidades quadradas.

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